数III 積分

質問

(1) ∫(sinx)^4dx
(2) ∫dx/sin3x
(3) ∫dx/(cosx)^3
途中式を含めて教えてください。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1) ∫ (sinx)^4dx
=∫ ((sinx)^2)^2dx
=∫ ((1-cos(2x))/2)^2
=(1/4) ∫ (1-cos(2x))^2 dx
=(1/4) ∫ (1-2cos(2x)+(cos(2x))^2) dx
=(1/4) ∫ (1-2cos(2x)+(1+cos(4x))/2) dx
=(3/8)x-(1/4)sin(2x)+(1/32)sin(4x)+C

(2) ∫ dx/sin(3x)
後で

(3) ∫dx/(cosx)^3
= ∫ cos(x)dx/(cosx)^4
= ∫ cos(x) dx/(1-(sinx)^2)^2
= ∫ cos(x)dx/(1-sinx)(1+sinx)
= (1/2) ∫ (sin(x))' (1/(1-sin(x))+1/(1+sin(x)))dx
=(1/2) ( -log(1-sin(x))+log(1+sin(x)) )+C
or
=(1/2) log((1+sin(x))/(1-sin(x)))+C
=(1/2) log((1+sin(x))^2/(cos(x))^2+C
=log((1+sin(x))/|cos(x)| +C

お礼

とても丁寧に回答していただき、ありがとうございました。

回答No.2

info222_

No.1です。
つづき

(2) I=∫dx/sin(3x)
= ∫ sin(3x)dx/(sin(3x))^2
3x=tとおくと

I= ∫ sin(t) (1/3)dt/(sin(t))^2
= ∫ sin(t) (1/3)dt/(1-(cos(t))^2)
= (1/3) ∫ (cos(t))' dt/((1-cos(t))(1+cos(x)))
=(1/3) ∫ (cos(t))' (1/(1-cos(t))+1/(1+cos(t))) dt
=(1/6) (-log(1-cos(t))+log(1+cos(t)))+C
=(1/6) (-log(1-cos(3x))+log(1+cos(3x)))+C
or
=(1/6) log((1+cos(3x))/(1-cos(3x))+C
=(1/3)log((1+cos(3x))/|sin(3x)|)+C

お礼

丁寧に回答していただき、ありがとうございました。
感謝いたします。