積分の計算(楽にならないか・・・・)

質問

いずれも置換積分すれば出来るものですが、置換をせずに出来ないものかと重い自分でそれらしく変形してみましたが、この続きが分からないので教えてください。

1
∫x*(2x+3)^3*dx
=1/2*∫(2x+3)'(2x+3)^3*dx

2
∫(cos^3x-1)*sinx*dx
=-∫(cos^3x-1)*(cosx)'*dx

上のような形にすると置換しなくても計算できる場合がありますよね。でも上の場合は無理でしょうか。出来る気がしてなりません。

どなたか教えてください。よろしくです。

回答No.1

YHU00444 · ベストアンサー

以下は置換積分そのものですが、形式的にd'f(x)*dxをdf(x)と表現してやると∫F(f(x))*f'(x)*dx=∫F(f(x))*df(x)=∫F(α)*dαという風に書けて、見通しが良くなります。
※ちなみに、このdf(x)は微分形式(differential form)というもので、数学的にはとても重要な概念なのですが、さしあたっては（高校数学レベル）あまり気にしなくてもOKです。

ということで各式をさらに変形してやると
(1)のつづき
=1/2*∫(2x+3)^3*d(2x+3)
=1/2*{(2x+3)^4/4}+C
=1/8*(2x+3)^4+C # C:積分因子

(2)のつづき
=-∫(cos^3x-1)*d(cosx)
=-{(cos^4x)/4-cosx}+C
=-(cos^4x)/4+cosx+C # Cは積分因子なので適当におく ///

お礼

遅くなりましたが、皆様ありがとうございました。やはり置換するほうがよいですね。

回答No.2

kkkk2222

---------------------------------
P=∫x((2x+3)^3)dx

(2x+3)=2x+3
(2x+3)(((2x+3)^3)=2x(((2x+3)^3)+3(((2x+3)^3)

∫(2x+3)(((2x+3)^3)dx=∫2x(((2x+3)^3)dx+∫3(((2x+3)^3)dx
∫(((2x+3)^4)dx=2P+3∫(((2x+3)^3)dx
(1/10)(((2x+3)^5)=2P+(3/8)(((2x+3)^4)

P=(1/20)(((2x+3)^5)-(3/16)(((2x+3)^4)
----------------------------
P=∫x((2x+3)^3)dx
(2x+3)=t
2dx=dt
dx=dt/2
x=((t-3)/2)
P=∫((t-3)/2)(t^3)(dt/2)
=(1/4)∫(t-3)(t^3)dx
=(1/4)∫(t^4)dx-(3/4)∫(t^3)dx
=(1/20)(t^5)-(3/16)(t^4)
=(1/20)((2x+3)^5)-(3/16)((2x+3)^4)
--------------------------------
Q=∫(((cosx)^3)-1)sinxdx
=∫sinx(((cosx)^3)dx-∫sinxdx
=-(1/3)((cosx)^4)+cosx
--------------------------------
Q=∫(((cosx)^3)-1)sinxdx
(cosx)=t
-dxsinx=dt
dx=dt/(-sinx)
Q=∫(((cosx)^3)-1)sinxdt/(-sinx)
=-∫(((t^3)-1)dt
=-(1/3)(t^4)+t
=-(1/3)((cosx)^4)+(cosx)
----------------------------------