数III 積分

質問

数III　積分
∫cos2x/(cosx)^2dx
の計算方法を教えてください。

回答No.2

atkh404185 · ベストアンサー

分子を２倍角の公式

cos 2x=2cos^2x-1

を使って、式変形していきます。

∫ cos 2x/cos^2x dx

=∫ (2cos^2x-1)/cos^2x dx

=∫ (2-1/cos^2x) dx

=∫ 2 dx-∫ 1/cos^2x dx

=(2x+Ｃ1)-(tanx+Ｃ2)

=x+Ｃ1-tanx-Ｃ2

=2x-tanx+(Ｃ1-Ｃ2)

=2x-tanx+Ｃ (Ｃ=Ｃ1-Ｃ2，Ｃ1，Ｃ2，Ｃは積分定数)

∫ 1/cos^2x dx=tanx+C

です。

証明は

(f(x)/g(x))'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}^2

を使います。

tanx=sinx/cosx
だから

(tanx)'

=(sinx/cosx)'

={(sinx)'cosx-sinx(cosx)'}/cos^2x

={cosx・cosx-sinx・(-sinx)}/cos^2x

=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x

=1/cos^2x

したがって、

∫ 1/cos^2x dx=tanx+Ｃ

となります。

お礼

回答ありがとうございました。
とても詳しい解説で、勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

bran111

I=∫cos2x/(cosx)^2dx

t=tanxとおく。

t^2=sin^2x/cos^2x=(1-cos^2x)/cos^2x=1/cos^2x-1　⇒　cos^2x=1/(1+t^2)

dt/dx=1/cos^2x　⇒　dx=cos^2xdt=dt/(1+t^2)

I=∫cos2x/(cosx)^2dx=∫(2cos^2x-1)/(cosx)^2dx=∫[2-1/cos^2x]dx=2x-∫dx/(cosx)^2
=2x-∫(1+t^2)dt/(1+t^2)=2x-t+c=2x-tanx+c

お礼

回答ありがとうございました。
このようなやり方もあるのですね。参考になりました。