高校数学 積分計算

質問

積分の計算方法が分からないのでおしえてください！

∫[π/3～2π/3] { 1/(1+cosx)^2 }dx
最後まで計算できません…方法を教えてください！

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

I=∫[π/3～2π/3] {1/(1+cosx)^2 } dx

u=tan(x/2) とおくと
du=d(tan(x/2)=(x/2)' dx/(cos(x/2))^2=(1/2)・1/(cos(x/2))^2 dx

公式：(1+cosx)/2=(cos(x/2))^2　を使うと
{1/(1+cosx)^2 } dx={1/((2(cos(x/2))^2)^2)} dx=(1/4)・1/((cos(x/2))^2)・1/((cos(x/2))^2) dx
=(1/4)(1+(tan(x/2))^2)・2 d(tan(x/2))=(1/2)(1+u^2)du

x:(π/3→2π/3)　⇒　u:(tan(π/6)→tan(π/3))　すなわち　u:1/√3 → √3
であるから

I=(1/2) ∫[1/√3～√3] (1+u^2)du=(1/2) [u+(1/3)u^3] [1/√3～√3]
=(1/2)(√3-1/√3 +(1/3)(3√3-1/(3√3)))
=(√3/2)(2/3 +1-1/27)
=(22/27)√3　... (答)

お礼

回答ありがとうございました！！

回答No.1

bran111

u=tanxとおくと

u^2+1=(1+sin^2x/cos^2x)=1/cos^2x

u^2+2=1+1/cos^2x=(1+cos^2x)/cos^2x

1+cos^2x=(u^2+2)cos^2x=(u^2+2)/(u^2+1)

du/dx=d(tanx)/dx=1/cos^2x=u^2+1 ⇒　dx=du/(u^2+1)

I=∫[π/3～2π/3] { 1/(1+cosx)^2 }dx
=∫[√3～-√3][(u^2+1)/(u^2+2)][du/(u^2+1)]
=∫[√3～-√3][du/(u^2+2)]
u=√2vとおくと
I=√2/2∫[√(3/2)～-√(3/2)][dv/(v^2+1)]
=(1/√2)[arctan(v)][√(3/2)～-√(3/2)]
=(1/√2)[arctan(-√(3/2))-arctan(√(3/2))]
=-√2arctan(√(3/2))

お礼

回答ありがとうございました！