数III 積分教えてください

質問

（１）∫tanx^2/cosx^2 dxが、(1/3)tanx^3になる計算過程を教えてください。
（２）∫sinx/cosx^2 dxが、１/cosxになる計算過程を教えてください。
（３）∫（３ｘ）^2*e^(-3x)dxが、-（1/3）*(9x^2 + 6x + 2)e^(-3x)+Cになる計算過程を教えてください。

計算途中に出てきたのですが、答えが合いません。
解き方を教えてください。
詳しいとありがたいです。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞（１）∫tanx^2/cosx^2 dxが、(1/3)tanx^3になる計算過程を教えてください。
置換積分ｔ＝tanｘとおくと、sec^2ｘｄｘ＝（１／cos^2ｘ）ｄｘ＝ｄｔ

＞（２）∫sinx/cosx^2 dxが、１/cosxになる計算過程を教えてください。
置換積分ｔ＝cosｘとおくと、－sinｘｄｘ＝ｄｔ

＞（３）∫（３ｘ）^2*e^(-3x)dxが、-（1/3）*(9x^2 + 6x + 2)e^(-3x)+Cになる計算過程を教えてください。
置き換えしてから、２回部分積分
ｔ＝３ｘとおくと、３ｄｘ＝ｄｔ，ｄｘ＝(1/3)ｄｔ
∫（３ｘ）^2*e^(-3x)dx
＝(1/3)∫ｔ^2ｅ^(-t)ｄｔ
部分積分
∫ｔ^2ｅ^(-t)ｄｔ＝－ｔ^2ｅ^(-t)＋∫２ｔｅ^(-t)ｄｔ
２項めの部分積分
∫２ｔｅ^(-t)ｄｔ
＝－２ｔｅ^(-t)＋∫２ｅ^(-t)ｄｔ

あとは自分で計算してみて下さい。

回答No.2

info22_

(1)
合成関数の積分公式
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C
ただし F(x)=∫f(x)dx
において、
g(x)=tan(x),f(x)=x^2として適用すると
g'(x)はtan(x)の微分公式から(tan(x))'=1/cos^2(x)そのものなので
g'(x)=1/cos^2(x)
F(x)=∫f(x)dx=∫x^2dx=(1/3)x^3
なので
∫f(g(x))g'(x)dx=∫(tan(x))^2/(cos(x))^2 dx
=F(g(x))+C=(1/3)(g(x))^3+C=(1/3)(tan(x))^3 +C
が得られます。

以上は説明の為のくどい書き方ですが、通常は、

「合成関数の積分公式を適用して
∫(tan(x))^2/(cos(x))^2 dx=∫{(tan(x))^2}*{tan(x)}' dx
=(1/3)tan^3(x) +C」

と書けば十分です。

(2)
これも(1)と同じく、合成関数の積分公式
∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)+C
を適用すればいい問題です。
f(x),g(x)としてどんな関数かを見極めることが大切です。

g(x)=cos(x),f(x)=-1/x^2
とすれば良いです。
g'(x)=-sin(x),F(x)=1/x
なので

合成関数の積分公式を適用して
∫sin(x)/cos^2(x) dx=∫{(cos(x))'}{-1/cos^2(x)}dx
=1/cos(x) +C

と積分できます。

(3)
これは、(3x)^2の項を微分して次数をさげなくす「部分積分法」を適用する問題ですね。

I=∫(3x)^2*e^(-3x)dxとおくと
部分積分法を適用しすると
e^(-3x)の項を積分し(3x)^2の項を微分して

I=(-1/3){e^(-3x)}(3x)^2-∫{(3x)^2}'*(-1/3){e^(-3x)}dx
=-3(x^2){e^(-3x)}+6∫x{e^(-3x)}dx

後半の積分にもう一度、部分積分法を適用しすると
e^(-3x)の項を積分し xの項を微分して

I=-3(x^2){e^(-3x)}+6[ x*(-1/3){e^(-3x)}-∫x'*(-1/3){e^(-3x)}dx]
=-3(x^2){e^(-3x)}+2[ -x*{e^(-3x)}+∫{e^(-3x)}dx]
=-3(x^2){e^(-3x)}-2x*{e^(-3x)}+2∫{e^(-3x)}dx
=-3(x^2){e^(-3x)}-2x*{e^(-3x)}+2(-1/3){e^(-3x)} +C
=-(1/3)(9x^2+6x+2)e^(-3x) +C

と得られます。

３問とも、基本的な問題なので、結果としてはA#1と似たような積分にはなりますが…。