積分

質問

Im = ∫[(x^m)(cosx)]dx
= (x^m)sinx + m [x^(m-1)] cosx - m(m-1) * I(m-2)
となるのですが、これ以上計算することは出来ますか？
またどうやればいいですか、やり方を教えてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

計算可能です。

　まず、ｍ＝4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3　の4通りで場合分けします。
　次に、得られた漸化式に対し、両辺に　－m!/(m-2)! を掛けたものを
左辺が「±m!/2! I(2)＝」または「±m!/3! I(3)＝」となるまで書き下して、すべて足し合わせてください。（ただし、複合は上記のｍの場合分けによって符号が異なることを表しています。）
　すると、左辺には「I(m)＝」だけとなり、右辺にsin(x)の項と、cos(x)の項、そしてI(0)=sin(x)+C またはI(1)=cos(x)+x sin(x)+C の項が残りますので、これらを　Σを使ってまとめれば　一般項が得られると思います。

　ちなみに、一般項は次のようになると思います。

　　I(2k)＝cos(x) Σ[i=1→k] (-1)^(k-i) (2k)!/(2i-1)! x^(2i-1) + sin(x) Σ[i=0→k] (-1)^(k-i) (2k)!/(2i)! x^(2i) + C　（ｋ≧１）

　　I(2k+1)＝cos(x) Σ[i=0→k] (-1)^(k-i) (2k+1)!/(2i)! x^(2i) + sin(x) Σ[i=0→k] (-1)^(k-i) (2k+1)!/(2i+1)! x^(2i+1) +C　　（ｋ≧０）

　なお、この一般項は、m/2を整数値にする関数を使えば、さらにまとめることができると思います。

お礼

回答ありがとうございます。