和の最小値

質問

1<=x<=10のとき、√（-x^2+10x-9）+√(-x^2+50x-49)の最小値を求めよ

x^2の係数が-1でなくて+1のときは、分かるのですが、-1のときは、微分して
グラフの増減でもっていくしかないでしょうか。ただ微分した式も分子の処理が
分かりません。よろしくお願いします。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

機械的に計算すること自体は、別に悪いことではありません。
ただ、なるだけ簡単に考えた方がイメージもしやすいですよね。

いまの問題では、定義域が限られた区間として与えられてしまいます。
なので、まず定義域を求めた上で、
その区間で増減表を書くと考えれば、微分からでも最小値は求められると思います。
（区間の端で最小値を得ることになる。）

最大値については、#4さんが丁寧に計算してくださってますね。

さて、#1さんの「線形計画法（領域を用いる）」ですが、
αとβは独立した変数ではないので（ともに xの関数であり独立ではない）、
線形計画法の手法は用いられないように思います。

少し言い換えれば、αとβはともに xの関数で独立していないので、
αβ座標（横軸：α、縦軸：β）において領域は描かない（曲線になる）ということです。

考え方として、このような手法に着目するのは意味があるとは思いますが。

回答No.4

nag0720

実際に微分してみると、

(√(-x^2+10x-9)+√(-x^2+50x-49))'
=(-x+5)/√(-x^2+10x-9)+(-x+25)/√(-x^2+50x-49)

通分して分子=0とすると、
(-x+5)√(-x^2+50x-49)+(-x+25)√(-x^2+10x-9)=0
(x-5)^2(-x^2+50x-49)=(x-25)^2(-x^2+10x-9)
(x-1){(x-5)^2(49-x)-(x-25)^2(9-x)}=0
(x-1)(7x-55)=0

x=1は分母が0になるので除くと、極値をとるのはx=55/7のときだけです。

お礼

回答ありがとうございます
先ずは極値であるための、必要条件分子=0を押さえる
のでした。ややこしく考えてました。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

確かに微分すれば求まるものは求まりますが、
ある意味「最終手段」と考えておいた方がよいと思います。

いまの問題であれば、2次関数に√が掛かっているとみてあげて
(与式)＝ √{ 4^2- (x-5)^2 }+ √{ 24^2- (x-25)^2 }

と変形できれば、だいぶすっきりすると思います。

それぞれの√の中は 0以上でなければいけませんから、
-4≦ x-5≦ 4（x-5は±4の間）⇒ 1≦ x≦ 9
-24≦ x-25≦ 24 ⇒ 1≦ x≦ 49

よって、定義域は 1≦ x≦ 9となります。

最小値は、それぞれの 2次関数が最小になるときが x＝ 1のときで一致しています。
よって、このとき最小値をとることになります。

ちなみに、最大値の方ですが
・前の√は、x＝ 5を境にして値が小さくなる。
・後の√は、1≦ x≦ 9においては単調増加になっている。

という動きから 5＜ x＜ 9の間あたりで最大値をとるだろうと推測できます。
この計算は微分しないと求まらないかもしれませんね。

お礼

回答ありがとうございます
与えられた条件をしっかりとみないといけないという
ことがよくわかりました。機械的に計算してはいけないのですね
最大の方は考えませんでしたが、微分すれば増減が分かる形にもっていける
のでしょうか。

回答No.2

mister_moonlight

忘れてた。。。。。ｗ

β＾2-α＾2＝40(x-1) 0≦x-1≦9　→　0≦β＾2-α＾2≦360　α≧0、β≧0　も条件に追加しといて。

お礼

回答ありがとうございます
領域の最大最小に持ち込む解法は参考に
なります。領域を求めるのに、条件を落としそうな
感じです。
√（-x^2+10x-9）=α ・・(1)
√（-x^2+50x-49）=β　・・(2)
(1)と(2)から、β^2-α^2=40(x-1)・・・(3)
(3)を(1)に代入した領域（α，β）は考える必要はあるのでしょうか
よく分かりません。

回答No.1

mister_moonlight

何でもかんでも微分するなよ。
こんなのは、置き換えだけで片がつく。

√（-x^2+10x-9）＝α、√(-x^2+50x-49＝βとすると、1≦x≦10から、｜α｜≦4、｜β｜≦7　‥‥(1)
(α＾2とβ＾2を考えると、単なる2次関数の問題だよ。)

そこで、k＝α＋β　‥‥(2)　とすると、(1)の条件で直線：(2)の値域を考える線型計画の問題。
続きの計算は自分でやって。