最小値

質問

y=x+1/(x-2) (x>2)
この方程式の最小値を相加＞相乗を利用して解くのは
どのようにすればよいのでしょうか？

微分するとすぐに
x=3
のとき最小値 4 とわかるのですが、微分を使用しないで
やると分からなくなってしまいました。

教えてください。
お願い致します。

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

＞y＝x+1/(x-2) (x>2)

これは、y＝x+{1/(x-2) }　(x＞2)と解釈する。
簡単な変形だけ、y＝（x-2）+{1/(x-2) }＋2とする。
そこで、相加平均≧相乗平均を使うだけ。

お礼

回答ありがとうございます。
x-2を消すように変形するのですね。

ありがとうございました。

回答No.2

himajin100000

x + 1/(x-2)
= (x - 2 + 2) + 1/(x-2)
= (x - 2) + 1/(x-2) + 2

ところで，x > 2なので
(x - 2) > 0
1/(x-2) > 0
ここで相加相乗平均の関係から
(x - 2) + 1 / (x -2) >= 2√((x - 2) ・ (1 / (x -2)))
(x - 2) + 1 / (x -2) >= 2
等号成立は x - 2 = 1 / (x - 2)の時、
つまり (x - 2)^2 = 1
x - 2 > 0より x - 2 = 1でx = 3

よって
y = (x - 2) + 1 / (x -2) + 2 >= 4

お礼

回答ありがとうございます。
よく理解できました。
ありがとうございます。