最小値の求めかた

質問

(x＾2)＋x＋1≦a*{(x＾2)＋1}がすべての実数xに対して成立するようなaの最小値をどのように求めるのか教えてください

与式より，(a－1)x2－x＋a－1≧0 …(1)

(1)がすべての実数 x について成り立つための条件は，
　x2 の係数 a－1＞0 …(2)
判別式Ｄ＝ （ー1)＾2－4(a－1)＾2≦0 …(3)の≦0が不等式が分かりません。
全ての実数だから≧0ではないのでようか？

(2)と(3)をまとめて
a＞１
(2a-1)(2a-3)≧0
a=1/2,2/3
からどのようにaの範囲を求めるのか分かりません。

回答No.4

lick6 · ベストアンサー

判別式とは実数解が存在するかを見るもので
(a - 1)x^2 - x + a - 1 = 0 ----※ の判別式Dについて
　　・D > 0 のとき ※ は異なる二つの実数解を持つ
つまりこれは y = (a - 1)x^2 - x + a - 1 がｘ軸と二箇所で交わるという意味でそうなるとグラフを考えれば「０以下」の部分が出てきてしまってダメですよね。
　　・D = 0 のとき ※ は一つの重解をもつ
これはｘ軸に接しているということでぎりぎり「０以上」を満たしています。
　　・D < 0 のとき ※ は異なる二つの虚数解を持つ
虚数解があるというのは実数解がないということ。
つまり、「ｘ軸と交わりすらしない」ということで「下に凸」という条件があれば「０以上」どころか「０より常に大きい」ということになります。

ちなみに結局同じことになるのですが、下のようにしても解けます。
(a - 1)x^2 - x + a - 1 ≧ 0 --------(1)
(1)が常に成り立つには x^2 の係数について a - 1 > 0 --------(2)
(1)の左辺を平方完成すると
　(a - 1){x - 1/2(a-1)}^2 - 1/4(a-1) + a - 1
　　よって(1)の左辺は x = 1/2(a-1) のとき最小値 -1/4(a-1) + a - 1 をとる
　　つまり -1/4(a-1) + a - 1 ≧ 0 であればよい
　(2)から a > 1 なので両辺に 4(a-1) をかけて
　　-1 + 4(a - 1)^2 ≧ 0
　　4a^2 - 8a + 3 ≧ 0
　　(2a - 1)(2a - 3) ≧ 0
　　a ≦ 1/2 , 3/2 ≦ a
　a > 1 から 3/2 ≦ a
よって a の最小値は 3/2

お礼

丁寧な説明ありがとうございました

回答No.3

tthe_mine

最後書き間違った。

(3)式から a <= 1/2 or a >= 3/2 … (3)' が導かれます。
(2)' と (3)' を同時に満たす a の範囲は a >= 3/2 です。

回答No.2

kakkysan

(1)式は　　ｘに関しての２次関数、y=(a－1)x^2－x＋a－1で
全てのｘについて　ｙ≧0　になる
そうなるためには
y=(a－1)x^2－x＋a－1　のグラフは
下に凸…(2)
ｘ軸より上（D<0）またはｘ軸と接する（D=0)…(3)

(2)と(3)をまとめて
(2)よりa＞１…{2}
(3)より(2a-1)(2a-3)≧0…この不等式を解くと
a≦1/2　または　3/2≦a…{3}

後は{2}、{3}の共通範囲を求める

◎次の事を復習してください
○２次不等式の解法
○２次関数のグラフと
ｘ軸・判別式の関係・２次方程式の解・２次不等式の解との関係

お礼

指摘どうもありがとうございました。
参考になりました

回答No.1

tthe_mine

(1)式ですが、xの一次式(a=1)だとすると -x >= 0 となり、全ての実数 x で成り立たなくなります。よって a != 1 ですね。
そうすると(1)式は x の二次式です。二次式が常に >= 0 であるためにはグラフにしたときに下に凸でなければなりません。下に凸なので x^2 の係数は正になります。これが(2)式です。
下に凸な二次式が常に >= 0 であるためには、解を持たないか、重解をひとつ持つ必要があります。そのため(3)式が導かれます。
(2)式から a > 1 … (2)' が導かれます。
(3)式から a <= 1/2 or a >= 2/3 … (3)' が導かれます。
(2)' と (3)' を同時に満たす a の範囲は a >= 2/3 です。

久しぶりに高校数学の問題思い出しながらやってるので、間違ってたらごめんね。

お礼

解説どうもありがとうございました。
とても参考になりました。