媒介変数のグラフ

質問

x=t^3+t^2+t,y=2t^3+2t^2 　(tはすべての実数)のグラフを図示せよ。
(1)　 tを消去して、ｘ，ｙの式にして増減からグラフを考える。
(2)　ｘ，ｙをｔで微分して、増減からグラフを考える。
以上の方法でできると思うが、(4)ベクトル、(5)行列　の別解の方法を教えてください。
(4)　(x,y)=(t^3+t^2)(1,2)+t(1,0) と変形してみたのですが、ここからよく分かりません。よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

(5)不明？
別解があるなら解法を示して下さい。

(4)
>(4)　(x,y)=(t^3+t^2)(1,2)+t(1,0) と変形してみたのですが、ここからよく分かりません。

このような分解しても何の意味もありません。
(x,y)=(t^3+t^2+1,2(t^3+t^2))
のままでtを変化させてプロットすればいいでしょう。
描くと添付図のようになります。
特徴点は極大点と極小点ですが
極小点は　明らかですが、x=0でy=0 です。
極大点は
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=2(3t^2+2t)/(3t^2+2t+1)
=2t(3t+2)/(3t^2+2t+1)=0
t=0,t=-2/3
t=0の時 x=0,y=0 (グラフから極小値の時です)
ｔ=-2/3の時 x=-14/27,y=8/27(グラフから極大値です）

その他
(1)
tを消去した陰関数の式
y=2{x-(y/2)+1}{x-(y/2)}^2　 …(A)
dy/dx=0から(y-2x)(3y-6x-4)=0 …(B)
（A),(B)を連立にして解けば極大点、極小点の座標が出てきます。

お礼

問題のなかで（４）か（５）の解答で解けますよというような、ニュアンスがあったので、考えてみましたが、（４）では途中で挫折しました。
　グラフでｘを無限大にしたら、どうｙの値が変化するのでしょうか。

回答No.2

info22

>グラフでｘを無限大にしたら、どうｙの値が変化するのでしょうか。
簡単に分かることは、他力本願に頼らず自分で考えるようにして下さい。

t→∞で　x→∞,ｙ→∞,
x/y=(1/2)+(1/2){1/(t^2+t)→1/2 つまり　y=2x に漸近

t→-∞で　x=(t^3){1+(1/t)+(1/t^2)}→-∞,
ｙ=2(t^3){1+(1/t)}→-∞,
x/y=(1/2)+(1/2){1/(t^2+t)→1/2 つまり　y=2x に漸近

なので　
x→±∞　で　y=2xに漸近しながら　y→±∞になる（複号同順）。

お礼

(4)　(x,y)=(t^3+t^2)(1,2)+t(1,0) の形というか、ベクトル、行列等を用いてからはグラフの作成は無理であることが、実際のグラフの形からして予想できること、そしてそのグラフがy=2xを漸近線とすることが結論づけられたのですっきりしなかったことがわかってよかったです。