関数の最大・最小値

質問

y=|x|e^x (-2≦x≦1)

この関数の最大値・最小値を求めるには
-2≦x＜０と０≦x≦1の場合分けをします。

そこまではいいのですが
解答にはy’=０の形を作る時に-2＜x＜0の範囲と等号が消去されています。
なぜなのでしょうか？

また、このグラフの増減の判断の仕方がわかりません
（というか関数全般的に・・・）

お願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>解答にはy’=０の形を作る時に-2＜x＜0の範囲と等号が消去されています。
なぜなのでしょうか？

定義域の両端、つまりx=-2とx=1では微分係数（導関数）が定義できないからでしょう。
またx=0でも微分係数（導関数）が存在せず定義できません。
それで、等号が除いてあるのです。

>このグラフの増減の判断の仕方がわかりません
-2<x<0の時
　y=-xe^x
　y'=-(x+1)e^x

　-2<x<-1でy'>0 この範囲でyは単調増加
　-1<x<0で y'<0 この範囲でyは単調増加
　x=-1でyは極大となり極大値y=1/eをとる。

0<x<1の時
　y=xe^x
　y'=(x+1)e^x＞0
　0<x<1の範囲でyは単調増加

x=-2の時　y=2/e^2
x=0の時　y=0
x=1の時　y=e

以上から全範囲-2≦x≦1では
　x=0でyは最小値（極小値でもある）y=0,
　x=1では最大値　y=e(≒2.718)
をとります。

補足

-1<x<0で y'<0 というのは単調増加になるのですか？

y'<0 だから単調減少だと思っていました。？？？

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#2の訂正および補足質問について

>1<x<0で y'<0 というのは単調増加になるのですか？
>y'<0 だから単調減少だと思っていました。？？？

これはコピペ時の編集忘れの単純ミスでした。
御免！

>-1<x<0で y'<0 この範囲でyは単調増加
以下のように訂正願います。
訂正：-1<x<0で y'<0 この範囲でyは単調減少

回答No.3

info22_

#2です。

A#2に付随してyの増減の状態をわかりやすくするため
y=|x|e^x (-2≦x≦1)のグラフを描きましたので添付します。

x=0で最小値y=0,x=1で最大値y=e をとります。
(eはネピア数、自然対数の底でe≒2.71828183です)

補足

グラフまで書いていただきありがたいです＾＾

うっすらですがイメージはつきました。

もし良かったら僕が先ほどgooのページでした

もう１つの質問「数学の苦手克服」にも答えていただけないでしょうか？

回答No.1

alice_44

区間の端で y'=0 であってもなくても、
y の最大最小を求める上で影響ないから
でしょう。