三角関数の最小値

質問

０＝＜θ＜２π　のとき、
ｆ（θ）＝cosθ-3sinθ-sinθcosθ／2
の最小値をもとめよ。

微分して、極値を求めようと思いましたが、極値になる
θを特定できません。当然グラフの増減も決定できません。
グラフ作成ソフトでグラフを書くと、極値は存在するようです。
そして、最小値になるようです。
計算で最小値を求めるには、どうしたらよいでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.6

inara1

もう１つ間違いがありました。
×　A = √( 5*C - 4 -15/C )、B = √( -5*C - 8 +15/C + 12/A )、A = ( 4 + √43 )^(1/3) --- (1)
○　A = √( 5*C - 4 -15/C )、B = √( -5*C - 8 +15/C + 12/A )、C = ( 4 + √43 )^(1/3) --- (1)

お礼

なんども、ありがとうございます。
tanθ／２＝ｔとおいて、考えるのが、取り組みやすいのか。
いずれにしろ、計算は大変なようであるが。
なかなか難しいということが、分かっただけでもよかったです。

回答No.5

inara1

間違いがありました。
×　で、最小と最大値は
　　　-( x^4 - *x^3 - 7*x 1 )/( 1 + x^2 )^2
○　で、最小と最大値は
　　　-( x^4 - 5*x^3 - 7*x 1 )/( 1 + x^2 )^2

回答No.4

inara1

解析解は見つかりました。解だけ先に書くと
f(θ) が最小と最大となる θ の値は
　　　θ = 2*arctan{ ( 1 + A ± B )/5 }　（－符号のとき最小）
　　　A = √( 5*C - 4 -15/C )、B = √( -5*C - 8 +15/C + 12/A )、A = ( 4 + √43 )^(1/3) --- (1)
で、最小と最大値は
　　　-( x^4 - *x^3 - 7*x 1 )/( 1 + x^2 )^2
　　　x = ( 1 + A ± B )/5
になります。小数で表すと
　　　θ = 1.743182904 （ x = 1.189159531 ）のとき、最小値 = -3.042572824
　　　θ = 5.138432790 （ x = -0.6443261950 ）のとき、最大値 = 3.333259202

【解法】
　　　f(θ) = cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2 --- (2)
において、tan(θ/2) = x とおくと（これは cos(θ) と sin(θ) を含む関数の積分でよく使われる置換です）
　　　sin(θ) = 2*x/( 1 + x^2)、cos(θ) = ( 1 - x^2)/( 1 + x^2)
となるので f(θ) は
　　　F(x) = -( x^4 - 5*x^3 - 7*x + 1 )/( 1 + x^2 )^2 --- (3)
となります（関数形が違うので f ( ) でなく F( ) としています）。これを x について微分して整理すると
　　　F'(x) = ( 5*x^4 - 4*x^3 + 6*x^2 - 4*x - 7 )/( 1 + x^2 )^3
なので、最大・最小点を与える x は F'(x) = 0 の解です。この解は、数式処理ソフトに頼ると
　　　x = ( 1 + A ± B )/5
になります（A, B に意味は(1)と同じ）。このx の値を直接式(3)に代入すれば f(θ) の最大・最小値になります。最大・最小点での θ の値は、tan(θ/2) = x から
　　　θ/2 = arctan(x)　（arctan は tan の逆関数）
　　　→ θ = 2*arctan(x) = 2*arctan{ ( 1 + A ± B )/5 } --- (4)
となります。x の値を少数で求めて、式(4)から θ の値を少数で求め（ 0 < θ < 2*π ）、それを式(2)に代入しても最大・最小値が求められます。

回答No.3

inara1

問題の関数は cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2 でも、cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ/2) でも、極大点は解析的には求められません。関数の式はあってますか？

補足

返事が遅くなりすみません。
cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2
になります。
θの値は求められなくとも、極小値は求められるのか。

回答No.2

inara1

式を間違えましたので修正します。
ｆ(θ) は
　　cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ)/2
ですか、それとも
　　cos(θ) - 3*sin(θ) - sin(θ)*cos(θ/2)
ですか。y = ｆ(θ) のグラフは、前者なら赤、後者なら緑の曲線になるので、前者か後者かで最小値が違ってきます。

回答No.1

inara1

ｆ(θ) は
　　cos(x)-3*sin(x)*cos(x)/2
ですか、それとも
　　cos(x)-3*sin(x)*cos(x/2)
ですか。y = ｆ(θ) のグラフは、前者なら赤、後者なら緑の曲線になるので、前者か後者かで最小値が違ってきます。

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