微積分について質問です！

質問

微積分についての質問です
どうぞよろしくお願いします！

たとえば、y=x^3／(x-2)^2
について増減表をかくなら、
微分して
x^2(x-2)(x-6)／(x-2)^4

ですよね、（x≠２）

ここからもう１度微分するとき（２次導関数を求めるなら）

分母は正であるので、分子だけを微分して考えていい
と思っていたのですが、分母込みで微分したときと
分子だけで微分したときでは結果が違います。

では、どんなときに分母を無視して分子だけを微分して考えてもいいのでしょうか？
また、今回では分子だけ微分することで、どんな欠陥が生まれたのでしょうか？

どうぞ回答よろしくお願いします！！！

回答No.4

noname#171582

増減表関数
ｆ'（ｘ）＝x^2(x-2)(x-6)／(x-2)^4
=x^2(x-6)／(x-2)^3

x 正 2 負

回答No.3

noname#171582

y=x^3／(x-2)^2をグラフ表示すると良いです。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞分母は正であるので、
常に正であったとしても、その「大きさ」は変わりますよね。

つまり、分子を「割る数」の大きさが変わるので、
単純なイメージとしては次のようになります。
・分母が 0に近づけば、全体の値は大きくなり、
・分母が非常に大きくなれば、全体の値は小さくなります。

ただし、分子も xの値によって変化しているので、
単純に上のような変化になるとも言い切れません。
（たとえば、分母が 0に近づくとき、分子も 0に近づくことになると、
全体の値は非常に大きくなる時もあれば、有限の値に近づく時もある）

結果として、「全体」で変化を考えないといけないことになります。

単に全体の値が「正か負か」だけの判断であれば、分子だけでもOKですね。＾＾

回答No.1

info22_

>今回では分子だけ微分することで、どんな欠陥が生まれたのでしょうか？
分子と分母のxは関連しており、分子の増減と、分母の増減が一致していないので
「分子/分母」の増減と分子の増減が一致しない（分子の関数と分母の関数が異なるため）ので分母を切り離して分子だけ微分しては全体の増減が反映されない。

>どんなときに分母を無視して分子だけを微分して考えてもいいのでしょうか？
分母の符号が一定（常に正または常に負）のとき、分子の符号を調べるだけであれば、分母を切り離して分子だけ微分して分子の正負だけを調べる場合は問題なし。分子と分母の符号が同じなら全体の符号は正、符号が異なれば全体の符号は負と言える。（全体の増減は調べられない。）