次の式の分子の因数分解

質問

グラフを作成する問題で
f(x)=x^2-4log(x^2+2x+2)
の最大最小を求めよというものをやっています。
ここで微分して
f'(x)=2x -{8(x+1)/x^2+2x+2}
として、通分しました。

ここで、質問です。
通分した結果、計算が間違っていなければ分子は、
2x^3+4x^2-4x-8
になると思います。

このままの形では微分の式のグラフがどうなるのかわからず回答をみたところ、
分子が
2(x+2)(x^2-2)と大変きれいになっていました。
これなら瞬時に-2,±ルート2において原点をとおる三次の曲線だとわかるのですが
はずかしいことにこの因数分解がどうやって上式から求められたのかわかりません。

今回の問題に限らず、因数分解ができずそもそも泣きを見ているのが多すぎるのですが
因数分解の極意というかどうやっていけば意図した形を導けるのかご指導お願い申し上げます。

この解説をみたあとは増減表も最大最小も問題なく解けました。
やはり因数分解がネックになっているのでステップバイステップでご指導いただければ幸いです。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

2x^3+4x^2-4x-8
(1)整数係数になっていなければ，何倍かして整数係数にする。今回は必要なしです。
2x^3+4x^2-4x-8
(2)係数に共通因数があればまずくくりだす。
2(x^3+2x^2-2x-4)
(3)最高次の係数p0と定数項q0をみて，p0の約数pとq0の約数qを考える。そしてx=±q/pを代入して0にならないかどうかを確認する。今回はp0=1でq0=-4ですから
x=±1，x=±2，x=±4
を考えれば十分です。そうするとx=-2でx^3+2x^2-2x-4=0になるから
2(x+2)(x^2-2)
になることがわかります。
試験で出るような問題なら，必ずきれいに因数分解できると思えば，その候補は限られていますので，これで十分です。

お礼

いつもコンパクトかつ丁寧にご指導くださりありがとうございます。
どっかで同じようなもの見たような…
と思いI+Aの青チャートを見たらちゃっかり総論として似たようなことが書いてありました。しかしながら、参考書を手にして指導してもらうまでこれに気が付かないのと、わからない人に説明できる人とでは月と鼈です。

本当に勉強されているというより数学を網羅されている方でいらっしゃるということを今回いただきましたご回答からあらためて存じました。

今後ともご指導よろしくお願い申し上げます。

回答No.3

noname#231363

他の回答にあるような応用は利かないかもしれませんが、この問題に限っては次の3通りの考え方がありますので、参考になればと思い追加回答します。

2x^3+4x^2-4x-8=2(x^3+2x^2-2x-4)
ここまではいいですね。
この後は、カッコ内の3次式について考えます。（2は面倒なので。)

x^3+2x^2-2x-4の各項の係数に着目すると、次の①と②の考え方があります。
①
x^3とx^2の係数の比は、1：２
xと定数項の比も、-2 ：-4=1：２
よって、x^3+2x^2-2x-4=x^2(x+2)-2(x+2)=(x+2)(x^2-2)
②
x^3とxの係数の比は、1：-2
x^2と定数項の比も、2：-4=1：-2
よって、x^3+2x^2-2x-4=x(x^2-2)+2(x^2-2)=(x^2-2)(x+2)= (x+2)(x^2-2)

また、多少テクニックを要しますが、次の考え方もあります。
③
x^3+2x^2-2x-4
=x^3+x^2-2x+x^2-4
=x(x^2+x-2)+(x^2-4)
=x(x+2)(x-1)+(x+2)(x-2)
=(x+2){x(x-1)+(x-2)}
=(x+2)(x^2-2)

以上の3通りの考え方のうち、特に①と②については、慣れればすぐに気付けるようになると思います。

※別解
以下では、x^3+2x^2-2x-4の定数項-4の約数を全く考えません。
つまり、他の回答にある「有理根定理」を用いないことになります。

3次方程式は、必ず1つの実数解をもつので、3次式は1次と2次式（場合によっては1次式と1次式の積）の積の形に表せる筈です。
そこで、x^3+2x^2-2x-4におけるx^3の係数1を考慮して、
x^3+2x^2-2x-4=(x+a)(x^2+bx+c)（a、b、cは特定の実数）とおきます。
右辺を展開して整理すると、
x^3+(a+b)x^2+(ab+c)x+ac
これと左辺の各項の係数を比較すると、
a+b=2－①
ab+c=-2－②
ac=-4－③
これらの式をじっくりと眺めて、2×(-2)=-4であることに気付けば、
b=0、a=2、c=-2であることが分かります。
よって、x^3+2x^2-2x-4=(x+2)(x^2-2)

また、次のように考えることもできます。
式①と②の辺々をかけると、
(a+b)(ab+c)=a^2b+ac+ab^2+bc=2×(-2)=-4
これに式③を代入すると、
a^2b-4+ab^2+bc=-4
a^2b+ab^2+bc=0
b(a^2+ab+c)=0

b=0とすると、上と同様にa=2、c=-2
つまり、x^3+2x^2-2x-4=(x+2)(x^2-2)

また、b≠0とすると、a^2+ab+c=0
式②から、c=-ab-2
これを上式に代入すると、
a^2+ab-ab-2=0
a^2-2=0
(a+√2)(a-√2)=0
よって、a=±√2
・a=√2のとき
式①から、b=2-√2
式③から、c=-4/√2=-2√2
よって、
x^3+2x^2-2x-4
=(x+√2){x^2+(2-√2)x-2√2}
=(x+√2)(x+2)(x-√2)
=(x+2)(x^2-2)
・a=-√2のとき
式①から、b=2+√2
式③から、c=-4/(-√2)=2√2
よって、
x^3+2x^2-2x-4
=(x-√2){x^2+(2+√2)x+2√2}
=(x-√2)(x+2)(x+√2)
=(x+2)(x^2-2)

※最後に一言
以上のように、x^3+2x^2-2x-4の因数分解の考え方・方法は、他の回答以外にもこれだけあります。
これで、少しは因数分解に興味を持っていただけましたか。
そうであれば幸いです。

回答No.1

ask-it-aurora

便利な道具に「有理根定理」と呼ばれる定理があります。これは整数係数の方程式がもつ有理数（分数）の根に関する定理です。

具体的に方程式
2x^3 + 4x^2 - 4x - 8 = 0
が有理根 x = p/q を持つとします。このとき
* 分子 p は先頭の係数 2 の約数であり、
* 分母 q は定数項 -8 の約数である
というのが定理の主張です。

したがって分子は p ∈ {±1, ±2} の4通り、分母は q ∈ {±1, ±2, ±4, ±8} の8通り、合わせて32通りの候補しかありえません。（実際は符号が打ち消し合うことがあるので、半分の16通りで済む。）根の候補が有限個で済むのだから、あとは地道に代入して確かめるだけです。以上を実行すれば
2x^3 + 4x^2 - 4x - 8 = (x + 2)(2x^2 - 4)
までは機械的にわかります。

もちろん、この定理が使える状況は限られていますが、それ以上はもっと高度な話題です。

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/有理根定理

お礼

整数係数の分数においてそのような極意があるのですね。
しかもq,pなど、統計学的な手法でこのように場合分け後の当てはまる式を導いていくというステップを拝見してただただこのような手法を導いた人はもちろん、それを知識として日常で使う方の頭の回転の良さに脱帽です。

むしろなぜ初めの定数がqになるのかとか考えだしてしまいました。

本当に面白くかつ分数の整数を見た場合に限るが有用なアプローチをご指導くださり本当にありがとうございました。
今後ともご指導お願い申し上げます。