最大値は持つが最小値は持たない条件（再質問）

質問

どうしても分からないのでもう一度教えてください。混乱してきました。

分数関数f(x)で分母が２次式で分子はxの関数があります。「最大値は持つが最小値は持たない条件」としてD≧0でありf(x)=x/(x-p)(x-q)と変形しています。pqはどう符号だということは分かっています。

さらに、p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので最大最小は持たない。p=q>0のときも∞に発散して不適。

よってD=0のときと書いてあります。

「p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので」「p=q>0のときも∞に発散して」という2つの文章はいきなり変えてありましたが、この理由を教えて下さい。具体的に微分するのでしょうか。それでもうまくいきません。パソコンでグラフを書けばよい、というアドバイスをいただきましたが、試験場ではかけないので、上の2つの≪明確な根拠≫を教えてください。

何度も申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

回答No.3

einart

～全体の補足～

質問の理解に苦しみます。
　・Ｄの意味
　　　分数関数の微分df/dxということですか？
　　　それとも分母の判定式ですか？
　パッと見はf(x)の判定式に見えてしまいます、しかしf(x)は分数関数。悩んでしまいます。

問題の流れ
　(ⅰ)「最大値は持つが最小値は持たない条件」なのでD≧0
　(ⅱ)　D≧0　⇒　f(x)=x/(x-p)(x-q)
　(ⅲ)　p≠qのとき
　　　　　x=pが漸近線で-∞か∞に発散するので最大最小は持たない。　これは条件を満たさない。
　(ⅳ)　p=qのとき
　　　　　p>0とすると　∞に発散して不適。　よってp<0
　(ⅴ)　p=q　が分かった。これはつまりD=0ということである。

質問に対する回答　(ⅲ)(ⅳ)の回答
　(ⅲ)　p≠qのとき
　　　　　p＜q　として問題ないので以後これで考える。
　　　　　qに対して右側からの極限と左側からの極限を考えます。
　　　　・右側から
　　　　　(x-p)(x-q)　→　+0
　　　　・左側から
　　　　　(x-p)(x-q)　→　-0
　　　　これではf(x)は+∞と-∞になってしまうので　p=q　でないといけません。

　(ⅳ)　f(x)＝ｘ/(x-p)^2　ですので
　　　　ｐ＜0のとき
　　　　　f(x)　→　－∞　（ｘ→ｐ）　最小値を持たない
　　　　ｐ＞0のとき
　　　　　f(x)　→　+∞　　(ｘ→ｐ）　最大値を持たない
　　　なのでｐ＜0を採用します。

グラフは証明には使いません。しかし見やすく、説得しやすく、イメージを起こすために非常に重要なものです。がんばってください。

お礼

遅くなりました。本当に本当にありがとうございました。

一応理解できたと思われるので閉じますが、また分からなくなったら質問させてください。

回答No.2

mis_take

ｐ≦ｑ とします。
ｘをｑに右から近づけると，分子→ｑ，分母→＋０ で 全体→±∞（符号はｑと同じ）です。
最大値があることから，ｑ＜０ でないといけません。
ｐ＜ｑ（＜０） とすると
ｘをｑに左から近づけると，分子→ｑ＜０，分母→－０ で 全体→＋∞ になってしまいます。
したがって，ｐ＝ｑ＜０ でないといけません。

回答No.1

noname#101087

>分数関数f(x)で分母が２次式で分子はxの関数があります。
>D≧0でありf(x)=x/(x-p)(x-q)と変形しています。pqはどう符号だということは分かっています。
>「p≠qのときはx=pが漸近線で-∞か∞に発散するので」.....

これは、「x=p および x=q の前後で正と負に発散するので」という意味でしょう。
これでは、有限の最大値も、有限の最小値も存在しないことになります。

残っているのは p=q の場合。
　f(x)=x/(x-p)^2
これなら、x=p の前後で正負同じ向きに発散します。
分母は非負なので、p が正(負)のとき、p の近くにて f(p)も正(負)になることを確めてください。

x=p 以外で f(x) は発散しないから、有限の最大値か最小値の一方が存在するはず。これも、確めてください。