数学の質問です。

質問

数学の絶対値のついた微分積分の質問です。 -4<m<0で、曲線と直線の交点のx座標はm＋m/2

f(x)=2x^2-4x＋8,
g(x)=mx＋8

のとき、∫[0,2]｜f(x)-g(x)｜dx を求めるんですが、

解説を見てもさっぱりです。
f(x)-g(x)を先に考えているところとかわけが分かりません。

→解説では・・・

f(x)-g(x)=2x^2-(4＋m)x
=2{x^2-(4＋m/2)x}
=2(x^2-ax)
=2x(x-a)

この部分の解説もお願いしたいのですが、
このような発想が普通に出るところまで達していないので、
もっと簡単なやりかたなどがあれば、教えていただきたいです。

それとも絶対値の微積を解く上では、これは普通なのでしょうか?

回答よろしくお願いします。

回答No.2

ask201012

よく見ると問題間違っているぞ？f(x)とg(x)の交点のx座標は0,2+m/2だ。それに、

(誤)f(x)-g(x)=2x^2-(4＋m)x
=2{x^2-(4＋m/2)x}

⇒(正)f(x)-g(x)=2x^2-(4＋m)x
=2{x^2-(2＋m/2)x}

だ。a = 2+m/2 とすると、-4<m<0で a > 0　だね。
だから、0<x<a で f(x)-g(x) < 0, x≦0,x≧a でf(x)-g(x) ≧ 0　だね。

よって、a ≦2 と a > 2で場合分けしないといけない。

(1) a ≦2 のとき

∫[0,a] -(f(x)-g(x))dx + ∫[a,2] (f(x)-g(x))dx

を計算する。

(2) a > 2 のとき

∫[0,2] -(f(x)-g(x))dx

を計算する。

正しくはこうだな。

回答No.1

ask201012

>f(x)-g(x)を先に考えているところとかわけが分かりません。

→解説では・・・

f(x)-g(x)=2x^2-(4＋m)x
=2{x^2-(4＋m/2)x}
=2(x^2-ax)
=2x(x-a)

この部分の解説もお願いしたいのですが、
このような発想が普通に出るところまで達していないので、
もっと簡単なやりかたなどがあれば、教えていただきたいです。

それとも絶対値の微積を解く上では、これは普通なのでしょうか?
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そういうやり方をするのは絶対値の微積を解く上で普通だと思うよ。
だって、絶対値がついたままじゃ積分を計算できないでしょ？だから、被積分関数の絶対値をまずはずさないといけないわけよ。絶対値は中身の正負で外れ方が違うんだから、f(x)-g(x)の符号を調べるために、まず上のようなことやるのって、自然な考え方じゃない？

この問題では a < x < 0 でf(x)- g(x) < 0　だね。だから、[0,2]の範囲ではf(x)-g(x) > 0だ。
だから、|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)として、定積分を計算すれば答えとなる。