数学の問題

質問

数学IIの問題で、『aはa＞2を満たす定数。Y＝｜X－a｜(X－2)とY＝ｍXとの交点が3個であるためのｍの条件を求めよ。』です。答えは0＜ｍ＜a＋2－2√2a、ｍ＞a＋2＋2√2a なのですがｍ＞a＋2＋2√2aのほうが交点が3個になっているようには思えなくて…よく分かりません。
解説よろしくお願いします！
ちなみに√2aのaも√に入ってます。分かりにくくてすいません。

回答No.5

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。
まず、「3個」というのは、x＜ 0で 2個と a＜ xで 1個になります。
x＜ 0側で 1個しかということだと思ったのですが、それだけではないようですね。

＞判別式!ですか？
ということなので、ここは判別式を用いて
(i) x＜ aの部分
交点の x座標に対する 2次方程式は
-(x- a)(x- 2)＝ mx

となります。
この 2次方程式の判別式は D＝ { m-(a+2) }^2- 8aであり、
m＞ a+ 2+ 2√(2a)のとき、D＞ 0となっています。

(ii) a＜ xの部分
上と同様に交点の x座標に対する 2次方程式は
-(x- a)(x- 2)＝ mx
判別式：D＝ D＝ { m+(a+2) }^2- 8a

m＞ a+ 2+ 2√(2a)のとき、D＞ 0となっています。
ただし、軸よりも右側の部分しかないので、1点としか交わりません。

そもそもこの問題は、どのように見られていますか？
単に解答を眺めているだけではないですか？
グラフの概形を描いて、「どこで交わるかの場合分け」を見てから考えないと
この答えにはたどりつかないですし、理解もできないと思います。

最後に、#4さんが確認されている内容ですが、
a＝ 4、m＝ 16＞ 6+4√2≒11.7のときを調べると
(x, y)＝ (-4, -48), (-2, -24), (9+√73, 12(9+√73))の 3点で交わっています。
3つ目の点の y座標は約210なので、普通にグラフを描いているだけではわかりません。

お礼

分かりました！

数学の問題を解く際、私は結構図形の情報だけに頼り過ぎてしまっていたのだと痛感しました。

これからはｎａｎｉｗａｃｃｈｉさんのようにきちんと論理付け、考えていきたいと思います！

回答No.6

ferien

No.4です。
>ｍ＞a＋2＋2√2aのときは、交点がありませんでした。
は間違いで、交点はありました。（分かる範囲では１個）

グラフは、
ｘ≧ａのとき、ｙ＝（ｘ－ａ）（ｘ－２）
ｘ＜ａのとき、ｙ＝－（ｘ－ａ）（ｘ－２）なので、
ｍ＞a＋2＋2√2a では、３個の交点を持たないように思うのですが。。。

確認できるのは、ｙ＝－（ｘ－ａ）（ｘ－２）のグラフと１個の交点をもつということで、
もしかしたらｙ＝－（ｘ－ａ）（ｘ－２）とｙ＝（ｘ－ａ）（ｘ－２）で、さらに１個ずつの
交点をもつのかな？と予想するぐらいで、普通の方法では、はっきりとした確認は難しいです。

お礼

いろいろありがとうございました！

見える範囲の図形だけで考えるのではなく、場合分けなどを使わないとだったんですね…回答をしてくれたお二人のおかげで分かりました！

回答No.4

ferien

数学IIの問題で、『aはa＞2を満たす定数。Y＝｜X－a｜(X－2)とY＝ｍXとの交点が3個であるためのｍの条件を求めよ。』です。答えは0＜ｍ＜a＋2－2√2a、ｍ＞a＋2＋2√2a なのですがｍ＞a＋2＋2√2aのほ>うが交点が3個になっているようには思えなくて…よく分かりません。

ａ＝４として、場合分けしてグラフを描いてみましたが、
0＜ｍ＜a＋2－2√2aのときは、３個の交点がありますが、
ｍ＞a＋2＋2√2aのときは、交点がありませんでした。
解答が間違っているかもしれませんが、もう一度よく見直した方がいいと思います。

お礼

わざわざありがとうございました！

解答が間違ってることもあるんですね…

回答No.3

naniwacchi

#2です。

＞X＜0に着目し、もう一度見直したのですが自分の図では一点でしか交わらず、答えの図を見たのですがやはり一点でしか交わってません

x＜ aにおけるグラフは
y= -(x- a)(x- 2)

と上に凸の 2次関数のグラフですよね。
2次関数と直線の共有点ってどうなるんでしたっけ？

グラフって「見えているところ」だけがすべてじゃないですよ。

お礼

何度もすいません。ありがとうございます！!

補足

本当に何度もすいません(泣)

判別式!ですか？

…でもそしたら2個あるということは分かっても3個とはならないですか？

X＞0にも一つ解があることを示すのでしょうか？

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
グラフをよーく見れば、気づくかと。
x＜ 0のところに注目（注意）してみてください。＾＾

お礼

回答ありがとうございます!

補足

回答ありがとうございます！

X＜0に着目し、もう一度見直したのですが自分の図では一点でしか交わらず、答えの図を見たのですがやはり一点でしか交わってません(ρ＿；)

どこで3個交わるのですか？

回答No.1

Tacosan

「ｍ＞a＋2＋2√2aのほうが交点が3個になっているようには思えなくて」ということですが, ではどう「思える」のでしょうか?

そもそもこの条件はどのように出てくるのですか?

お礼

ご回答ありがとうございました！

補足

Y＝｜X－a｜(X－2)をX≧aのときとX＜aのときに場合分けし、X軸との交点が2とaだということ、またa＞2ということに着目し、Y＝｜X－a｜(X－2)のグラフをかいてから、Y＝ｍXとそのグラフが3個の交点を持つ範囲を探すと0＜ｍ＜a＋2－2√2aのほうは導けたのですがｍ＞a＋2＋2√2aは自分では導けず、答えの図をみても一点でしか交わっていなくて…なんでｍ＞a＋2＋2√2aの範囲も入るのかがわかりません。

文が長くなってしまい分かりずらくてすいません(>_<)