数学1の問題です

質問

(1)　関数　y=3ax²-6bx+2　はx=-2のとき最大値　4をとる。この関数とX軸との交点の座標を求めな　　さい。

(2)　二次関数　y=3mx²+6mx+9m²-6m+4について、問いを答えよ
　　I　関数の最小値が　4のときのmの値を求めよ
　　II　関数の最大値が　8のときのmの値を求めよ

解き方を教えてください。よろしくお願いします

回答No.8

ferien · ベストアンサー

>ｙ＝３ａ（ｘ＋２）^2＋４……（２）
>　＝３ａｘ^2＋１２ａｘ＋１２ａ＋４
>（１）と係数を比較すると、
>１２ａ＝－６ｂ
>１２ａ＋４＝２
>
>すいません。この部分がよくわかりません。
>もう少し、詳しく教えてください。

問題の式　
ｙ＝３ａｘ^2－６ｂｘ＋２と
ｙ＝３ａｘ^2＋１２ａｘ＋１２ａ＋４　を比べると、

ｘ^2の係数は一致しているので、ｘの係数と定数項を比較します。
この２つの式は同じ関数を表しているから、係数は一致します。だから、
１２ａ＝－６ｂ
１２ａ＋４＝２
とおけます。

回答No.7

info22_

#3です。

#4さん、指摘有難う。
凡ミスでした。
(1)の方のxの項の符号を間違えていましたので
(1)は以下のようになりますので#3の回答の内、(1)の解答だけ以下で
差し替えて下さい。

(1)
最大値が存在する為には　a<0 でなければならない。
この時
y=3a{x^2-2(b/a)x}+2=3a{(x-(b/a))^2-(b/a)^2}+2
=3a{x-(b/a)}^2 +2-3{(b^2)/a}
x=-2の時最大値4をとるから
　b/a=-2
2-3{(b^2)/a}=4
これを解けば
b=-2a
2-12a=4
-12a=2
-6a=1
a=-1/6（<0を満たしている）,b=1/3
関数は　y=-(1/2)x²-2x+2
x軸との交点のx座標は2次方程式
　-(1/2)x²-2x+2=0
つまり
　x²+4x-4=0
の2実解なので
　x=-2±2√2

回答No.6

asuncion

＞y=(-1/2)x²-(1/2)x+2 … (d)

ああ、間違えちゃった。

y=(-1/2)x²-2x+2
でございました。
x²+4x-4=0
より、
x=-2±2√2

回答No.5

ferien

>(1)　関数　y=3ax²-6bx+2　はx=-2のとき最大値　4をとる。この関数とX軸との交点の座標を求めな
>　　さい。

y=3ax²-6bx+2　……（１）
x=-2のとき最大値　4をとるから、ａ＜０
ｙ＝３ａ（ｘ＋２）^2＋４……（２）
　＝３ａｘ^2＋１２ａｘ＋１２ａ＋４
（１）と係数を比較すると、
１２ａ＝－６ｂ
１２ａ＋４＝２
連立方程式にして解くと、ａ＝－１／６，ｂ＝１／３
よって、ｙ＝（－１／２）ｘ^2－２ｘ＋２　
X軸との交点の座標を求めるから　ｙ＝０として、
ｘ^2＋４ｘ－４＝０
ｘ＝－２±２ルート２　（２）へ代入して
ｙー（－１／２）・（±２ルート２）^2＋４＝０

よって、交点の座標は（－２－２ルート２，０），（－２＋２ルート２，０）

補足

ｙ＝３ａ（ｘ＋２）^2＋４……（２）
　＝３ａｘ^2＋１２ａｘ＋１２ａ＋４
（１）と係数を比較すると、
１２ａ＝－６ｂ
１２ａ＋４＝２

すいません。この部分がよくわかりません。
もう少し、詳しく教えてください。
お願いします

回答No.4

asuncion

＞#3さん
＞y=3a{x^2+2(b/a)x}+2

これはおかしいような気がします。
y=3ax²-6bx+2
ですからね。

回答No.3

info22_

(1)
最大値が存在する為には　a<0 でなければならない。
この時
y=3a{x^2+2(b/a)x}+2=3a{(x+(b/a))^2-(b/a)^2}+2
=3a{x+(b/a)}^2 +2-3{(b^2)/a}
x=-2の時最大値4をとるから
　b/a=2
2-3{(b^2)/a}=4
これを解けば
a=-1/3（<0を満たしている）,b=-2/3
関数は　y=-x²+4x+2
x軸との交点のx座標は2次方程式
　-x²+4x+2=0
つまり
　x²-4x-2=0
の2実解なので
　x=2±√6

(2)
I
最小値が存在する為には　m>0
この時
y=3mx²+6mx+9m²-6m+4
=3m(x²+2x)+9m²-6m+4
=3m(x+1)^2 -3m+9m²-6m+4
=3m(x+1)^2 +9m²-9m+4
最小値　9m²-9m+4=4
m(m-1)=0
m＞0なので
m=1

II
最大値を持つためには　m<0
この時
y=3m(x+1)^2 +9m²-9m+4
最大値が8なので
　9m²-9m+4=8
　9m²-9m-4=0
(3m+1)(3m-4)=0
m<0なので3m-4≠0
∴m=-1/3

回答No.2

asuncion

とりあえず(1)から。

y=3ax²-6bx+2
にx=-2, y=4を代入すると、
4=12a+12b+2
より、
a+b=1/6 … (a)

また、
y=3ax²-6bx+2
を平方完成すると、
y=3a(x²-(2b/a)x)+2
より、
y=3a(x-(b/a))²+Y
の形になるので、x=b/aのとき最大値Yを持つことになる。
同時に、a<0であることもいえる。 … (c)
題意より
b/a=-2
であるので、
b=-2a … (b)

(a)と(b)より、a=-1/6, b=1/3
この結果は(c)と矛盾しない。

よって、関数の式は
y=(-1/2)x²-(1/2)x+2 … (d)
となる。
X軸との交点の座標は、(d)式でy=0とおけばよい。
x²+x-4=0
より、
x=(-1±√17)/2
∴求める座標は((-1-√17)/2,0)と((-1+√17)/2,0)

回答No.1

gohtraw

（１）
平方完成はできますか？
ｙ＝３ａ（ｘ－ｂ／ａ）＾２－３ｂ＾２／ａ＋２
になると思いますが、ｘ＝－２のとき最大値４であることから
ｂ／ａ＝－２、－３ｂ＾２／ａ＋２＝４
となります。これを解くとａ，ｂが出るので、あとはその値を使って二次方程式を解いて下さい。

（２）
これも平方完成を使います。
ｙ＝３ｍ（ｘ＋１）＾２＋９ｍ＾２－９ｍ＋４
になるはずですが、
Iでは９ｍ＾２－９ｍ＋４＝４、かつｍ＞０
IIでは９ｍ＾２－９ｍ＋４＝８、かつｍ＜０
を解いて下さい。ｍの符号の条件が出てくるのは、ｘの二次関数が最小値を持つ時、ｘ＾２の係数は正となる（最大値の場合は負）ためです。