高校数学III

質問

次の問題についてです。
問）次の直線と曲線の2つの交点を結んだ線分の長さと中点の座標を求めよ。
　　x+2y=1,x²+4y²=4

この問題では２つの交点の座標を具体的に求めないと解けないのでしょうか。例えば解と係数の関係などを使って解くこともできるのでしょうか。
答えを導くことができなかったので解法や途中式など解説をお願いします。（解と係数の関係など使っていなくても結構です。）

回答No.4

noname#215361 · ベストアンサー

質問にある線分の長さと中点の座標を求めるには、やはり2つの交点の座標を求めることが定石だと思います。
そこで、x+2y=1とx^2+4y^2=4からこれらの交点の座標を求めることになります。
（指数表記はこのように統一されていますので、今後はこのようにしてください。）
4y^2=（2y）^2であることに気付けばyを消去してもいいのですが、x+2y=1におけるxの係数が1なので、通常はxを消去します。

x+2y=1からx=1-2y
これをx²+4y²=4に代入して、
（1-2y）^2+4y²=4
1-4y+4y^2+4y^2=4
8y^2-4y-3=0

この式の左辺をじっくり眺めても、たすきがけの方法による因数分解は出来ません。
そこで、どのような式でも因数分解出来る方法を用います。
これを知っておいて損はありません。
解の公式もこのようにして導き出されたものです。
（たすきがけの方法による因数分解が出来ても、それに気付かない場合に用いることが出来、解の公式を丸暗記する必要もありません。）

8y^2-4y-3
=8（y^2-y/2-3/8）
=8｛（y-1/4）^2-1/16-3/8｝
=8｛（y-1/4）^2-7/16｝
=8｛（y-1/4）^2-（√7/4）^2｝
=8（y-1/4+√7/4）（y-1/4-√7/4）
=8｛y-（1-√7）/4｝｛y-（1+√7）/4｝

よって、8y^2-4y-3=0を満たすのは、
y=（1-√7）/4、y=（1+√7）/4
対応するxは、
x=1-（1-√7）/2=（1+√7）/2、x=1-（1+√7）/2=（1-√7）/2

これから線分の長さは、
√[｛（1+√7）/2-（1-√7）/2｝^2+{（1-√7）/4-（1+√7）/4}^2]
=√{（√7）^2+（√7/2）^2}
=√（35/4）
=（√35）/2

中点のx座標は、
{（1+√7）/2+（1-√7）/2｝/2=1/2
中点のy座標は、
{（1-√7）/4+（1+√7）/4｝/2=1/4
よって、中点の座標は（1/2，1/4）

お礼

回答ありがとうございました。
どのような式でも因数分解できる方法を用いて解答してくださり、とても為になりました。
大変勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.6

shuu_01

＞　すみませんがここの計算の解が
＞　（√35）/2になるのがわかりません。

こういう問題を解くときは、まずグラフを描いてみることです

自分の手で描くのが訓練になり良いですが、、、

フリーのグラフ作成ソフト　GRAPES　で描いてみました

X座標の差、Y座標の差がわかると、交点の距離は直角三角形の
斜線の長さですので、三平方の定理で計算できます

今回、普通に二次方程式で解けないといけない問題ですが、

＞　例えば解と係数の関係などを使って
＞　解くこともできるのでしょうか。

という考えは、とても数学のセンスがあると感じました

数学にはそういう閃きが必要ですので、

いろんな解き方を試みて、１番 スマートな解法が探す
喜びを大事にしてください

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。ありがとうございます。

回答No.5

noname#215361

ANo.4の回答者です。
ご丁寧なお礼を頂き、有り難うございました。
自分で指数表記を指摘しておきながら、ANo.4における以下の表記が、数式をコピーしたためにめちゃくちゃですね。

x+2y=1からx=1-2y
これをx²+4y²=4に代入して、
（1-2y）^2+4y²=4
1-4y+4y^2+4y^2=4
8y^2-4y-3=0

よって、これを以下の通り改めます。

x+2y=1からx=1-2y
これをx^2+4y^2=4に代入して、
（1-2y）^2+4y^2=4
1-4y+4y^2+4y^2=4
8y^2-4y-3=0

大変失礼致しました。

お礼

再度ありがとうございます。
とても親切で、丁寧な方で、感動しております。
本当に勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.3

info222_

>この問題では２つの交点A,Bの座標を具体的に求めないと解けないのでしょうか。
2つの交点はA(0,-1),B(-8/5,3/5)と簡単な整数と有理数の値ので得られるので
簡単に因数分解により、連立方程式が解けます。
なので、敢えて

>例えば解と係数の関係などを使って解くこともできるのでしょうか。

の関係を持ち出すまでもないでしょう。
交点A,Bの座標が無理数の分数になるような場合でなければ解と係数の関係など持ち出して計算するだけけのメリットはありません。
まず、連立方程式が簡単に解ける場合か、実際に解いてみることの方が重要でしょう。
2交点の座標A(0,-1),B(-8/5,3/5)から
線分ABの長さ=√{(64/25)+(64/25)}=(8/5)√2
線分ABの中点Mの座標は(-4/5,-1/5)
が暗算でも求められますよ。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

shuu_01

普通に２次方程式を解いても、さほど手間でありませんが、解と係数の関係を使うとちょっと楽です

(1)　x + 2y ＝ 1
(2)　x^2 ＋ 4y^2 ＝ 4

(1) より　2y ＝ 1 － x　
これを使って、(2) から y を消します

x^2 ＋ 4y^2 ＝ 4
x^2 ＋ (2y)^2 ＝ 4
x^2 ＋ （1 － x）^2 ＝ ４
2x^2 － 2x － 3 ＝ 0

この２次方程式を解くと ２つの交点の x 座標が得られます

解と係数の関係を使うと

α ＋ β ＝ －（－2 / 2）＝ 1
α β ＝ －3 / 2

ですので

（α － β）^2 ＝ （α ＋ β ） ^2 － 4 α β ＝ 1 ＋ 6 ＝ 7

α － β ＝ ±7

α － β は ２つの交点の x 座標の差で 7

これは 直線 (1) 上にあるので、y 座標の差は 7 ×（－1/2）

２つの交点の距離は √（7^2＋（7/2)^2） ＝ （√35）/2

２つの交点の中点の x 座標は （α ＋ β）/2 ＝ 1 / 2

y 座標は (1) に 代入して求められ、1/4

【答え】距離は　　　（√35）/2
　　　　中点の座標は　（1 /2 , 1 /4）

お礼

とても丁寧で分かりやすい回答ありがとうございました。
勉強になりました。

補足

＞２つの交点の距離は √（7^2＋（7/2)^2） ＝ （√35）/2
すみませんがここの計算の解が（√35）/2になるのがわかりません。
答えは（√35）/2で合っているのですが…。

回答No.1

f272

x+2y=1から2y=1-xであり、これをx^2+4y^2=4に代入するとx^2+(1-x)^2=4となって2x^2-2y-3=0
したがってx1+x2=1、x1x2=-3/2
同様にx+2y=1からx=1-2yであり、これをx^2+4y^2=4に代入すると(1-2y)^2+4y^2=4となって8y^2-4y-3=0
したがってy1+y2=1/2、y1y2=-3/8

交点を結んだ線分の長さは
√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=√((x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2)=√(1+6+1/4+3/2)=√35/2
中点の座標は
((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)=(1/2,1/4)

お礼

回答ありがとうございました。