積分の面積問題について

質問

aを0でない実数とし、f(x)=(x-a)e^(-x)とおく。曲線f(x)が原点を通る接線をただ一つもつとき、
１、aの値を求めよ。
２、曲線y=f(x)の変曲点のx座標を求めよ。
３、曲線y=f(x)と、この曲線の原点を通る接線およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答；a=-4, 変曲点のx座標x=-2

３、接線のx座標は（-2、2e^2)
この点は２、より変曲点であるからグラフは～

と書いていてグラフはf(x)と接線がx=-2のみで接して交点はこれのみです。なぜこうなるのかがわかりません。
これは「変曲点で接線が接した場合は曲線の接線の交点は接点のみ」ということでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフを描いてみてください。

ｘ＞ａでｙ＞０、ｘ＝∞でｙ＝０です。
ｘ＜ａでｙ＜０です。単調に減少します。
Ｘ＝ａ＋１で最大値を持ちます。変曲点はｘ＝ａ＋２だけです。

ｘ＜ａ＋２で上に凸、ｘ＞ａ＋２で下に凸です。

ａの値を変えるとグラフは左右に位置を変えます。
ａ＞０の場合、原点は凸のグラフの左側にきます。原点を通る接線を２本引くことが出来ます。

これは接線の方程式を作ってみればわかります。
接点の座標を（α、β）とします。
β＝ｆ(α)です。
勾配は原点を通るという条件から
β/α＝ｆ'(α)　です。
これより
α＝(1/2)（ａ±√(ａ^2＋４ａ)）
になります。
判別式よりａ≧０、またはａ≦－４が出てきます。
ａ＞０は上で考えたものです。解が２つありますから２本引くことが出来ます。ａ＝０では原点がグラフの上に乗ってしまいます。接線が一本あります。
これが「曲線f(x)が原点を通る接線をただ一つもつとき」という条件に当てはまるかどうかは「？」です。私は解に含めてもいいのではないか
と思います。
ａ＜－４では２つ接線を引くことが出来ますから解ではありません。
ａ＝－４が解になります。
ａ＝－４のときα＝－２です。これは変曲点の座標です。
ａ＜－４のときは変曲点の両側に接点が１つずつあります。

∴原点がｙ＝ｆ(ｘ)のグラフに乗っていないという条件があるとするとａ＝－４が求める解になります。もし原点がこのグラフの上にあってもかまわないとするとａ＝０も解に入ってきます。
「曲線f(x)が原点を通る接線をただ一つもつとき」というのはどう解釈するのでしょうか。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.3

miocute

変曲点とはその前後において曲線の凹凸が変化する点で
曲線を関数y=f(x)によってグラフで表した場合
1次導関数が極値をとる点になります。

(ここでは2次導関数がある場合を考えてます)
関数y=f(x)とその変曲点(p,f(p))における接線が
変曲点以外の交点(q,f(q))を持つとすれば
平均値の定理からp＞r＞q(またはp＜r＜q)なるrがあって
f'(p)＝f'(r)となります。
さらに、平均値の定理からp＞s＞r(またはp＜s＜r)なるsがあって
f''(s)＝0となります。
よって変曲点を(p,f(p))以外に持つことになります。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.1

nious

といふよりも、y=f(x)は、x＞-2においては下に凸の形状になるから、
グラフから考えると接線とy=f(x)はx＞-2では次第に遠ざかる事が分かります。
よって他に交点が存在しない事を一応確認する為ではないですかね。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。