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3次方程式の接線

曲線:y=x^3-3x^2 に点(1,-2)で接する直線の方程式を求める問題なのですが、 f(x)=x^3-3x^2 接点を(a,f(a)) とおいて、 微分して傾きを求めるやり方の他に、 求める直線をy=mx+nとおいて解く方法がのっていたのですが、 x^3-3x^2=mx+n より、 x^3-3x^2-(mx+n)=0 もう1つの接点のx座標をβとすると、 x^3-3x^2-(mx+n)={(x-1)^2}(x-β) となり、恒等式を解くという解説なのですが、 (1)何故(x-1)が重解になっているのか (2)この方法はどんな時に役立つのか わからないので、教えてください。よろしくお願いします。

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  • eatern27
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回答No.1

(1) >点(1,-2)で接する直線の方程式を求める問題 だからです。 (α,f(α))で接する直線の方程式であれば、x=αが重解になります。 (2) いい例が思い浮かびませんが、 例えば、この曲線と接線の接点以外の交点を求める必要がある場合、この方法であれば、問題を解く過程で答えが出ているので、とても楽だと思います。

h-storm
質問者

お礼

ありがとうございました。

その他の回答 (1)

回答No.2

(1) 3次曲線と接戦の差の関数(x^3-3x^2-(mx+n))がX軸に接する必要がありますよね?関数f(x)がX軸に接すると言うことはどういうことか考えましょう。 「f(x)=0とf'(x)=0の連立方程式の解xが存在する」ということになると思いませんか?これは重解を意味します。 (2) この問題では遠回りですが、接点がわかっていない場合、接点のx座標をαと置くのと、接線の傾きをmと置くのと本質的には同じですよね?後者のときが威力を発揮する場合もあります。

h-storm
質問者

お礼

接する=重解 ということですね。ありがとうございます。