数学について

質問

数学
(1）0<a<1を満たす定数とする。
関数f(x)を
f(x)=ax^2＋(2-4a)x＋4a-15/4
と定め、y-f(x)の表す曲線をCとする。
また、
y=－1/2(x-2)＋1/4をmとする。
Cとmで囲まれた部分のうち、x≧0を満たす部分の面積をS1とすると
S1=5-8/3aである。←わからないです。
という問題なのですが、S1の求め方がわからないです。
交点の座標を求めて面積を出そうとしたのですが、上記とまったく違った答えになりました。
馬鹿なので、詳しく解説していただけると嬉しいです。
(2)(1)の続きです。
S1=11/3となるようなaの値はa=1/2であり、このとき、Cとmで囲まれた部分の面積のうち,x≦0を満たす部分の面積をS2とすると
S2=27/4である。←わからないです。
という問題なのですが、S2の求め方がわからないです。
誘導にそっても考え方が浮かびませんでした。
詳しく解説していただけると嬉しいです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

積分で面積を求める問題の場合、グラフを描くことが最初の一歩なのですが、この問題ではそのままの形で図示することが難しいですよね。
　後で工夫して図示してみますが、とりあえず図示なしで問題を解いてみたいと思います。

(1)　曲線Cは a>0 なので下に凸な放物線で、mは直線です。
　曲線Cと直線mに囲まれる部分は、f(x)=－1/2(x-2)＋1/4 としたときの2解を α,β(α<β) とすると α≦x≦β の範囲にあり、この範囲では　放物線Cが直線mの下方(y軸で-方向)にあり、f(x)≦－1/2(x-2)＋1/4 であることが分かります。

　そこで、放物線Cと直線mの交点のx座標を次のように求めます。
　　f(x)=(-1/2)(x-2)+1/4
　⇔ax^2+(5/2-4a)x+4a-5=0
　⇔(x-2)(ax-2a+5/2)=0
　∴x=2, 2-5/(2a)

　ここで、0<a<1 ですので　2-5/(2a) < -1/2 となり、面積S1は 0≦x≦2 の範囲にあり、面積S2は 2-5/(2a)≦x≦0 にあることが分かります。
　このことから、面積S1は定積分を使って次のように求めることができます。
　　S1=∫[x=0→2] {(-1/2)(x-2)+1/4 -f(x)}dx
=∫[x=0→2] {-ax^2-(5/2-4a)x-4a+5} dx
=[-ax^3/3-(5/4-2a)x^2+(-4a+5)x][x=0→2]
=5-(8/3)a

(2)　S1=11/3 から a=1/2 は設問に書かれている通り求められます。
　このとき　曲線Cと直線mとのx座標が2でない交点のx座標は　2-5(2a)=-3　ですので、面積S2 は
-3≦x≦0 の範囲にあります。
　また、a=1/2 ですから f(x)は　f(x)=(1/2)x^2-7/4 となります。
　S1 で行ったことと同じように、定積分でS2を求めますと
　　S2=∫[x=-3→0] {(-1/2)(x-2)+1/4 -f(x)}dx
=∫[x=-3→0] {(-1/2)(x-2)+1/4 -(1/2)x^2+7/4}dx
=∫[x=-3→0] (-x^2/2-x/2+3) dx
=[-x^3/6-x^2/4+3x][x=-3→0]
=27/4

　以上で問題の答えは求めることができました。

（参考）
　以下は参考です。読み飛ばしてもらって構いません。
　この問題はすべて面積についてのものだったことを利用して、この問題のグラフを工夫して描きます。
　曲線C:y=f(x)をaで整理して、次のように変形し、併せて直線mを再掲します。
　　曲線C: y=f(x)=a(x^2-4x+4)+2x-15/4 =a(x-2)^2 +2x-15/4, 0<a<1
　　直線m: y=-(1/2)(x-2)+1/4
　（直線n: x=0 （y軸））
　ここで図形の面積は図形全体を一定量ずつずらしても変化しません（等積変形）ので、例えば、問題のグラフをy軸負の方向に 2x-15/4 だけずらしても図形の面積は変わりません。（図形の形状は変化しますが。）
　そこで、曲線C,直線mをy軸負の方向に 2x-15/4 だけずらしたものを曲線C',直線m' としますと、次のように表せます。
　　曲線C': y=g(x)=a(x-2)^2, 0<a<1
　　直線m': y=-(5/2)(x-2)
　（直線n': x=0 (y軸））
　このようにすることで、x=2は放物線C'の軸で、曲線C'と直線m'の1つの交点のx座標であることが明示的に分かり、問題に取り組む際のグラフ的イメージが掴みやすくなると思います。
　あとは、曲線C'、直線m'が問題の図形を等積変形したものであることを断っておけば、曲線C',直線m'を使って面積S1,S2を求めても構いません。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

非常にわかりやすいありがとうございます。
図までつけて下さって本当に感謝しております。