じゃんけんで2連勝したら勝ちというルールで一方の勝つ確立を求めたい。

質問

じゃんけんで2連勝したら勝ちというルールで一方の勝つ確立を求めたい。
今、一方Aが１勝した。その後Aの勝つ確率を求めたい。
無限等比級数を使った解法は判っており、答えは、２/３です。
ところが、ある人から、他に、連立方程式を立てても解けると聞きました。
本当でしょうか?
どなたかその解法を教えてください。それともそれは嘘?

回答No.2

oxbow · ベストアンサー

「あいこを挟んで連勝してもよい」という条件のときが２／３じゃないですか？

別に”連立”方程式でなくても解けますが、
p=１勝しているほうが勝つ確率
q=１敗しているほうが勝つ確率
とすると、
まず、
p+q=1
が言えます。
もし「あいこを挟んで連勝してもよい」という条件であれば、次に勝つか負けるかだけを考えればよいので
１勝しているほうが勝てば勝利で決着、
１勝しているほうが負ければ立場が入れ替わりますので
p=(1/2)+(1/2)q
となります。
この連立方程式を解くとp=2/3が出ます。
もし、「あいこを挟んでの連勝ではだめ」という条件であれば
１勝しているほうが勝てば勝利で決着、
あいこであれば両者同じ立場、
負ければ立場が入れ替わり
ですので
p=(1/3)+(1/3)(1/2)+(1/3)q
です。
これを解くとp=5/8となります。

お礼

orcus0930さん、oxbowさん。早速のご回答本当に感謝いたします。年余に渡って考えていましたが、判りませんでした。気が狂いそうになって助けを求めました。本当にありがとうございます。
私、AならA、BならBでの立場でしか考えられませんでした。立場が変わって、(1/2)qと言う発想ができませんでした。
そしておっしゃるとおり、あいこなしの場合でしか考えていませんでした。orcus0930さんのご指摘にもピンと来なかったので、的外れな補足でした。ごめんなさい。
あいこは、(1/3)の確率で起こり、その時点でAもBも条件は振り出しで勝率(1/2)同士ですね。
正しい解答は、おっしゃるとおり、p=5/8だと判りました。私の計算は、あいこは無としなくてはなりません。または、あいこをはさんで2連勝したら勝ちの確率でした。1/2を初項として、公比1/4の等比級数の和を足しただけでした。
無限大などの知識を振り回さなくても、冷静にそれぞれの場合の条件をしっかり把握すれば判る問題でした。
改めて、よく考えれば、そこから学ぶことで人生をもそのもの考え直させられることとなりました。
再度、orcus0930さん、oxbowさんに御礼申し上げます。ありがとうございました！！

回答No.1

orcus0930

条件を再確認したい．

あいこの場合は，どうなるの？
A勝ち→あいこ→A勝ち
の場合はAの勝利で終わり？

補足

誤字すみません。確立→確率でした。
補足させていただきます。必ず,２連勝する必要があります。
あいこは、A、Bどちらにも勝ちとなりません。また負けにもなりません。
従ってそこからまたじゃんけんはつづき、Aが2連勝するまで永遠に終わりません。
詰まりあいこは、つぎへ続行ということになります。
求めたいのはそのAの勝つ確率です。しかも、Aがまず一勝した後の条件付確率です。(もちろん負けはBが2連勝した場合で１ー（Aの勝つ確率）です。）詰まり、どうしても無限の問題が生じますが、確率rは、ー１＜１の中にあるので、値は収束し、無限等比級数の和の公式で、２/３と解答できるのです。でも、でも、もっと簡単に連立方程式で解けるのでしょうか。推移確立や、マルコフ過程・エルゴード性などを考えて見ましたが、判りませんでした。これらの過程では、無限を定数に推測して理論を進めているようです。どうかお助けお願いいたします。