確率

質問

数学のテストが明日にあるので復習をしていたらわからないところがありました。

A、Bの2人が1枚ずつコインを投げ、2人とも表ならAの勝ち、それ以外のときはBの勝ちとなるゲームを行う。このゲームを繰り返して、先に3回勝った方を優勝とするとき、次の確率を求めよ。

（1）Aが優勝する確率

解答には、こう書いてありました。

３連勝　（1/4）^3=1/64
３勝２敗で優勝　4C2(1/4)^2*(3/4)^2*1/4=27/512
よって　1/64+9/256+27/512=53/512

Aの勝つ確率が1/4、Bの勝つ確率が3/4と３連勝のところはわかったのですが、なぜ３勝２敗で優勝の場合を考えるのかよくわかりません。

回答、よろしくお願いします。

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＞回答、ありがとうございます。
＞やっと考え方が分かりました。図を描けばいいですね！

＞３連勝　(1/4)^3=1/64
＞２勝１敗　3C2*(1/4)^2*(3/4)*1/4=9/256
＞２勝２敗　4C2*(1/4)^2*(3/4)^2*1/4=27/512
＞よって、1/64+9/256+27/512=53/512

＞これでいいでしょうか？？

ＯＫです。式の書き方も完璧です。
私の答案よりわかりやすいですね。

図を描けばわかりやすいです。
これくらいなら全部数え上げてもいいですね。
3勝1敗なら、
○×○○
○○×○
×○○○

でもいつも数え上げるわけにいかないので、組み合わせや順列の考え方をうまく利用して数えましょうということです。
最後は必ず○
3戦目までが○と○と×はどうならんでもよいので
3Ｃ2または3Ｃ1または3！/2！

3勝2敗の場合は、○○××の並べ方の総数は
4Ｃ2のかわりに4！/（2！2！）でもいいです。

いろんな数え方があります。ご参考までに。

お礼

わかりやすい回答、毎回ありがとうございます。

結構、数が大きくなったので不安だったのですが、あっていたならよかったです。

テスト対策にほかの問題を解きましたが、わからなかったのはこの問題だけだったようです。

今回も本当にありがとうございました_(._.)_

回答No.2

asuncion

＞解答には、こう書いてありました。
＞
＞３連勝　（1/4）^3=1/64
＞３勝２敗で優勝　4C2(1/4)^2*(3/4)^2*1/4=27/512
＞よって　1/64+9/256+27/512=53/512

Aが3勝1敗の場合が書いてありませんが、理屈はおわかりですか？

補足

３勝１敗の場合は、
3C2*(1/4)^2*(3/4)*1/4=9/256

これでいいでしょうか？？

回答No.1

suko22

＞Aの勝つ確率が1/4、Bの勝つ確率が3/4と３連勝のところはわかったのですが、なぜ３勝２敗で優勝の場合＞を考えるのかよくわかりません。

Ａが勝つのを○であらわします。先に3回勝てば優勝ですから、
Ａが3連勝、3勝1敗、3勝2敗の3パターンあることがわかります。

3勝2敗ということは例えば、次のような勝ち方です。

○○××○　の確率は（1/4）＾3（3/4）＾2

4戦目まで2勝2敗で最後はＡが勝たなければいけません。
なので、4戦目までの○と×の並び方の数だけ、3勝2敗でＡが勝つ場合があるということです。
4Ｃ2は○と×の並べ方の場合の数です。

補足

回答、ありがとうございます。
やっと考え方が分かりました。図を描けばいいですね！

３連勝　(1/4)^3=1/64
２勝１敗　3C2*(1/4)^2*(3/4)*1/4=9/256
２勝２敗　4C2*(1/4)^2*(3/4)^2*1/4=27/512
よって、1/64+9/256+27/512=53/512

これでいいでしょうか？？