ジャンケンの確率

質問

ｎ人でジャンケンをするとき、ある特定の一人が勝つ確率が１／ｎであることの証明法を教えて下さい。
　２人のときは、初項１／３、公比１／３の無限等比級数となり、１／２。３人のときも、３人→１人と３→２→１人の場合分け、２人の場合の結果、および無限等比級数を用いて、１／３。
　帰納法を使おうと思うのですが、良いアイディアが浮かびません。どなたか教えて下さい。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

#2です。回答が遅くなってしまいましたが,最後まで解きたいと思います。

Ｐ(ｋ)の求め方
"特定の一人"はAと書きます

P(k)というのは、Aを含むk人が勝つ確率でしたから,
Aの出した手(仮にグーとします)に注目して,
A以外のn人のうち、k-1人がAと同じ手(グー)、n-k人がAの手に負ける手(チョキ)を出す確率です。

よって、
P(k)＝(nＣk-1)(1/3)^(k-1)*(1/3)^(n-k)
＝(nＣk-1)(1/3)^n

Σ[k=1 to n]P(k)
＝(1/3)^nΣ(nＣk-1)
＝(1/3)^n(2^n-1)

また、(i+1)(m+1Ｃi+1)＝(m+1)(mＣi)という公式があるので、これにm=n,i=k-1を代入すると
(nＣk-1)＝k(n+1Ｃk)/n+1
となるので、

P(k)/k＝{(1/3)^n*k(n+1Ｃk)/n+1}/k
＝((1/3)^n)/(n+1)*(n+1Ｃk)

∴Σ[k=1 to n]P(k)/k
＝((1/3)^n/(n+1))Σ(n+1Ｃk)
＝((1/3)^n/(n+1))(2^(n+1)-2)
＝((1/3)^n/(n+1))*2*(2^n-1)

となり、さらに、
ｋ君が勝つ確率＝ｋ君が負ける確率なので、
あいこになる確率＝1－ｋ君が負ける確率－k君が勝つ確率
P(0)＝1-2ΣP(k)なので、

これらを、#2に書いたｐ＝(ΣP(k)/k)+P(0)p
に代入すると,p=1/(n+1)になります。

それから、
＞Σのkはk=2からnではないでしょうか。
確かに。上でも、Σ[k=1 to n]P(k)/kをいきなり書いてしまいましたが,

P(1)+Σ[k=2 to n]P(k)/k＝Σ[k=1 to n]P(k)/k
と出した,と考えてください。

なお、帰納法以外の解法は、#4さんのようなものしか思い浮かびません。#4さんの方法が気に入らないのなら,私が書いた方法か#3さんの方法かになると思います。(どちらも本質的には同じですが)

「当たり前」なこと程、証明が難しいので,v505tsさんのように、その「当たり前」を証明するのは立派なことだと思います。時には人間の直感が間違っている事もありますしね。

お礼

重ね重ね、ありがとうございました。
まさに私が求めていた解答をいただき、嬉しいです！
先日の書き込みである程度わかったのですが、うまく計算が合わず、苦悩していました。p(0)のところで、単純なミスをしていたようです。
「Σのkはk=2からn」の件は、おっしゃるとおりp(1)をまとめていることに気付いたため、訂正させていただきました。すみません。
　このような問題を考えては楽しんでいるので、もしまた何かありましたらよろしくお願いします。

回答No.4

BBblue

「当たり前」を理屈っぽく言っただけのモノですが、こういう説明はどうでしょう？

ｎ人を a1、a2、a3、・・・、an とする。
a1 が勝つ事象において、a1 と a2 を入れ替えると a2 が勝つ事象になるので、a1 が勝つ確率と a2 が勝つ確率は等しい。以下同様に a3、・・・、an が勝つ確率も等しく、それらの和は１になるのでそれぞれの勝つ確率は１／ｎ。

にしてもわれながら間抜けな説明・・・

お礼

わかりやすく、明快。
これで十分ですね。ありがとうございます！

回答No.3

kony0

状態ｉ：「ある特定の１人」を含むちょうどｉ人が勝ち残っている状態（i=1,2,...,n)
状態０：「ある特定の１人」が負けてしまった状態
と定義します。初期状態は状態ｎです。

いま状態iにいるという仮定のもとで、1回のじゃんけんで状態jに遷移する確率をp(j|i)とおきます。
i≧2のときは
p(j|i)=(i-1)C(j-1)/3^(i-1) (for j=1,2,...,i-1)
p(i|i)=1-Σ(j=1～i-1)iCj/3^(i-1)=1-(2^i-2)/3^(i-1)
p(0|i)=Σ(j=1～i-1)(i-1)Cj/3^(i-1)=(2^(i-1)-1)/3^(i-1)
となります。
ちなみにp(1|1)=1, p(0|1)=0, p(0|0)=1ならびにp(j|i)=0 for all j>iとします。（これはp(j|i)の日本語的意味から明らか）

n+1次正方行列Aを考え、そのi行j列要素をp(j|i)とします。(i,j=0,1,...,n)

n+1次元横ベクトルp[k]を考え、p[0]=(0,0,..,0,1)とした時、p[k]=p[k-1]A=p[0]A^kとすれば、ベクトルp[k]のi番目の要素(i=0,1,...,n)は「k回のジャンケンを終えた」という条件のもとで状態iに存在する確率を表していることになります。（マルコフ連鎖のいちばんBASICな例題）

ということで、lim(k→0)p[k]=(1-1/n, 1/n, 0, ..., 0)となることを証明してみてはいかがでしょうか？

（算式で示したいということなら、これより単純かつ簡単な方法を（酔っ払いの）私には思いつきません＆A^nを計算する気もなし。あとはお任せします^^;）

お礼

ありがとうございます！
早速確かめてみたいと思います。
様々なアプローチのヒントをいただき、勉強になります！

回答No.2

eatern27

ｎ人でジャンケンして,どの人も勝つ確率は同じなんですから,1/nであることは明らかだと思いますが・・・。
(サイコロを振って、ある特定の目が出る確率が1/6である、というくらい)

"明らか"とするのがいやなのかもしれませんが、それでも帰納法を使わない方が簡単だと思いますよ。

帰納法でなくてもいい、というのなら、この下は読まなくていいです。

2,3,・・・,nで成り立つと仮定して,n＋1人でジャンケンするときを考えます。

ある特定の一人(以下,Ａ君)に注目して、Ａ君が勝つ確率をｐとおきます。

また、一回目のジャンケンで,A君を含むｋ人が勝つ確率をP(k)とします。(k=1,・・・,n)
さらに、一回目のジャンケンであいこになる確率をP(0)とおきます。
(このP(k)は具体的に求めることができます。)

一回目のジャンケンでA君を含むｋ人が勝ったとき、ｋ君が最終的に勝つ確率は、帰納法の仮定から,1/kです。

一回目のジャンケンであいこになった時、ｋ君が最終的に勝つ確率は、ｐです。

なので、ｐ＝(ΣP(k)/k)+P(0)p
となります。(Σはk＝1からｎまで)

これをｐについて解けば,p=1/(n+1)になるはずです。

P(k)とか求めるのが面倒なので,お勧めはしませんが。

お礼

早速の丁寧な解答ありがとうございます。当たり前が“いや”というほどの深刻なものではありません^^;
明らかなのはもちろんわかっていますが、２人の時などのように、直感と理屈が結びつくようななにかいい方法がないものかと考えていたところです。（しかし、サイコロと同じと言われると少し飛躍かと感じる私はやはり“いや”なのでしょうか？）
　さて、教えていただいた式ですが、Ｐ(k)や、Ｐ(0)の求め方はどのようなやり方がよいですか？また、Σのkはk=2からnではないでしょうか。
　ｐがこういった式であることもp=1/(n+1)になる“はず”であることも既に考えていましたが、その先を詳しく教えていただけると幸いです。また、この方法が面倒でダメだったら、帰納法以外（直感的解答以外）の解法があればそちらも教えていただきたいのですが。お願いばかりですみません。
　確率と無限等比級数を使って「当たり前のことを示す」問題として考えたのですが、低レベルなくだらない問題かもしれません。すみません。

補足

＜お礼の訂正＞
Σはk＝1からｎまでですね。勘違いです。失礼しました。

回答No.1

yoshik-y

うーん、ｎ人いたら1/ｎになるのは当たり前のような気がしますが。

補足

ありがとうございます。
「当たり前」なのは十分承知です。
あいこが続く場合を考慮して、
うまく示せないだろうかと考えたのですが。