3連勝すると優勝。その確率は？

質問

AとBがある試合をし、先に３連勝したら優勝とする。
Aが勝つ確率は1/3
Bが勝つ確率は2/3
このときAが優勝するときの確率を考えたんですが、全くとき方が思いつきません。

2連勝の場合は等比数列の和を使い、答えが出せましたが、
3連勝となるとかなりのパターンがあり分かりません。

回答No.5

31415926 · ベストアンサー

n戦試合をしてどちらも3連勝していなくて，
かつn試合目はＡが勝っている確率をa(n),
n戦試合をしてどちらも3連勝していなくて，
かつn試合目はＢが勝っている確率をb(n)
とします．ただしa(0)=b(0)=1とします．
このとき丁度(n+3)試合目でAが優勝する確率は
(1/3)^3b(n)となります．

で，b(n)に属するような星取表は
………ＡＢ　
または　
………ＢＢ
となっているわけですが，3連勝がないので
後者の方は　
………ＡＢＢ
となります．これらの星取表で……Ａの
所で止めればこれはa(n-1), a(n-2)に属する
星取表となっています．このことからb(n)についての漸化式
b(n) = (2/3)a(n-1) + (4/9)a(n-2)
を得ます．同様にしてa(n)についての漸化式
a(n) = (1/3)b(n-1) + (1/9)b(n-2)
を得ます．(n>=2)
ここで上の式をn=2,3,...について足し合わせます．
(詳しくは書きませんが上の式とa(0),a(1),
b(0),b(1)の値から無限和の収束が言えます)
Σa(n)をA, Σb(n)をBとおきます．(Σはn=0,1,2,..の和)
a(0)=b(0)=1, a(1)=1/3, b(1)=2/3に注意すると
上の漸化式から
B- 5/3 = (2/3)(A-1)+4/9 A,
A- 4/3 = (1/3)(B-1)+1/9 B
を得ます．これよりB=171/41となります．

よってＡの優勝する確率は
(1/3)^3(Σb(n)) = (1/3)^3B = 171/1107 = 0.15447...
となります．

回答No.12

31415926

No.11の参考URLの解答がうまいですね．
ちなみに
171/1107 = 19/123
なので私の解答(No.5)と一致しています．
(約分をし忘れててごめんなさい)

なお，なぜNo.2の解答がよくないかといいますと
(No.2の方，ごめんなさい)
>Ａがｎ連勝して終了する時の確立は(1/3)^n
>Ｂがｎ連勝して終了する時の確立は(2/3)^n
とありますが，
「よーし，今からAが3連勝すれば優勝だ！」
という場面が起こる確率と
「よーし，今からBが3連勝すれば優勝だ！」
という場面が起こる確率が違うため，単に
(1/3)^3と(2/3)^3, と言う風にはなっていないと
いうわけであります．

回答No.11

yuyu_2525

参考URLに同じような問題とその解法が出ていますね。
これを参考にしてみてはどうでしょうか。

参考URL：

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1109546954/223-225n

回答No.10

rising11

No7ですが

解答は”先に３連勝したら優勝とする”でなくて
先に3勝したら優勝　でした
まちがっていました。
ちなみにＣの横の数字もぎゃくでした。

回答No.9

sunasearch

#5さんの回答が正しいですよ。

マルコフ過程の問題ですので、
最後の勝ち方だけではなく、
その過程も問題になります。

この問題の場合、
下記の７つの状態の間を確率的に遷移することで、
状態１から状態４か状態７のいずれかに遷移する確率を求めるものです。

状態1:A0勝B0勝
状態2:A1B0
状態3:A2B0
状態4:A3B0
状態5:A0B1
状態6:A0B2
状態7:A0B3

相撲の優勝決定ともえ戦などもそうですが、
手で計算するには、
状態間の関係を漸化式で表して解く方法が一般的です。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/markoff/markoff.htm

回答No.8

at9_am

＃１（＃３）です。
なにやら大変苦労なさっているようですので、補足します。

この問題はＡが勝つ確率を求めたい、というわけですから、結局「勝負がついたとき」という条件付き確率になります。
ですので＃６の方の回答が正しいと思います。

3 回目以降の n 回目で勝負がつく確率は 1/3 です。これは、Aが勝つ場合 n-2 回目と n-1 回目に勝利してn回目にも勝利する確率が 1/27、Bは 8/27 ですから、その和が n 回目で勝負がつく場合になります。
n 回目で勝負がついたという条件の下で、Aが勝つ確率は
(1/27)/(8/27+1/27)=1/9
になります。

いま、n 回目で A が勝つ場合を考えて、n-3 回目にも A が勝っていたとすれば、n-1 回目で勝負がついていて、n 回目は行われません。したがって、n 回目で勝負がつく確率を考える場合には n 回目が行われたという条件のもとでの確率ですので、n-3 回目以前は考える必要はありません。
n 回が行われる確率は n が大きくなれば０に収束しますし、A が勝つ確率は n によらず一定ですから、n 回が行われたという条件付き確率が条件なしの A の勝つ確率に等しくなります。
二人でジャンケンをして一方が勝つ確率が 1/2 になるのと同じ理屈です。

もし全体として考えれば、3 回目に勝負がつかない確率は 2/3 ですから、4 回目が行われる確率も 2/3 である事に注目すれば、5 回目が行われる確率は 4/9 となりますから、以下同様に考えられるので、A が勝つ確率は
Σ(1/27)*(2/3)^(n-3) n=3,4,...
を計算することになります（当然答えは1/9になります）。

回答No.7

rising11

3-0の場合
1/3*1/3*1/3 = 1/27
3-1
1C4(Cの両端小文字）*1/3*1/3*1/3*2/3
3-2
2C5*1/3*1/3*1/3*2/3*2/3

３つの和です。

それぞれの確率の前に 1Ｃ4などかけるのが注意

教科書にのっています。

回答No.6

yuyu_2525

＃２です。
>「どのような経緯にせよ」は間違っていると思うんですが。
以下のように考えました。

このゲームはｎ連勝した時点で終了、
一方がｎ連勝するまでゲームは続くルールなので
ゲームが終了する時は

～～Ａ…Ａ
～～Ｂ…Ｂ
（ただし～～ではどちらもｎ連勝していない）

のどちらかのパターンしかありません。

---
｜　［Ａが２連勝］　｜　［Ｂが２連勝］　｜
｜　　　　　　　ＡＡ｜　　　　　　　ＢＢ｜
｜　　　　　　ＢＡＡ｜　　　　　　ＡＢＢ｜
｜　　　　ＢＡＢＡＡ｜　　　　ＡＢＡＢＢ｜
｜　　ＢＡＢＡＢＡＡ｜　　ＡＢＡＢＡＢＢ｜
｜　ＡＢＡＢＡＢＡＡ｜　ＢＡＢＡＢＡＢＢ｜
｜ＢＡＢＡＢＡＢＡＡ｜ＡＢＡＢＡＢＡＢＢ｜
など…

｜［Ａが３連勝］｜［Ｂが３連勝］｜
｜　　　　ＡＡＡ｜　　　　ＢＢＢ｜
｜　　　ＢＡＡＡ｜　　　ＡＢＢＢ｜
｜　　ＢＢＡＡＡ｜　　ＡＡＢＢＢ｜
｜　　ＡＢＡＡＡ｜　　ＢＡＢＢＢ｜
｜　ＢＡＢＡＡＡ｜　ＡＢＡＢＢＢ｜
｜　ＡＢＢＡＡＡ｜　ＢＡＡＢＢＢ｜
｜　ＡＡＢＡＡＡ｜　ＢＢＡＢＢＢ｜
｜ＡＡＢＢＡＡＡ｜ＢＢＡＡＢＢＢ｜
｜ＡＢＡＢＡＡＡ｜ＢＡＢＡＢＢＢ｜
｜ＢＡＡＢＡＡＡ｜ＡＢＢＡＢＢＢ｜
｜ＢＢＡＢＡＡＡ｜ＡＡＢＡＢＢＢ｜
｜ＢＡＢＢＡＡＡ｜ＡＢＡＡＢＢＢ｜
など…
---
>>どのような経緯にせよ「～Ａ…Ａ」で終わります。
>>Ｂの場合は「～Ｂ…Ｂ」で終わります。

>先にBがｎ連勝してしまう場合があるので
>「どのような経緯にせよ」は間違っていると思うんですが。

その場合は、Ｂがｎ連勝した時点でゲームが終わるので
「Ｂの場合」になります。

と考えたのですが、方向性が誤っているのでしょうか?

回答No.4

sunasearch

手でやるなら、パターンを列挙するしかないと思いますよ。

ちなみに、２連勝のときは、A:5/21,B:16/21ですよね。

３連勝のときは、
ランダムに1億回シミュレーションさせると、
およそ、A:0.155, B:0.845になりました。

回答No.3

at9_am

＃１です。
先に３勝の所、間違っていました。訂正です。

先に３勝であれば
Aが３連勝＝1/27
Bが１勝　＝3*2/3*1/27=2/27
Bが２勝　＝6*4/9*1/27=8/81
の和なので17/81となります。

補足

なぜ和になるんですか？

回答No.2

yuyu_2525

Ａがｎ連勝して終了する時に
どのような経緯にせよ「～Ａ…Ａ」で終わります。
Ｂの場合は「～Ｂ…Ｂ」で終わります。
必ずそのどちらかでゲームが終わるわけですから、
それ以外は排除して考えてみます。

Ａがｎ連勝して終了する時の確立は(1/3)^n
Ｂがｎ連勝して終了する時の確立は(2/3)^n
よって求める確立は
　(1/3)^n/{(1/3)^n+(2/3)^n}
分子分母に3^nをかけてやると
　1^n/(1+2^n)=1/(1+2^n)
とでます。
したがって、
Ａが2連勝の時は1/(1+2^2)=1/(1+4)=1/5
Ａが3連勝の時は1/(1+2^3)=1/(1+8)=1/9
でどうでしょうか。

補足

>Ａがｎ連勝して終了する時に
>どのような経緯にせよ「～Ａ…Ａ」で終わります。

先にBがｎ連勝してしまう場合があるので
「どのような経緯にせよ」は間違っていると思うんですが。