数列の問題

質問

a=１、r=が２の無限等比級数の第ｎ部分和をSnとするとき、
無限級数の和
ΣSn/(4^n)・・・・・・☆
を求める問題なんですが、
まず
Sn={1-(2^n)}/(1-2)
をもとめて、これを☆に代入すると
Σ[{1-(2^n)}/(1-2)]/(4^n)
になりました。
ここからどうすればいいのでしょうか？

回答No.1

debut · ベストアンサー

Sn=(2^n)-1まで簡単になりますよね。
すると、
Sn/(4^n)=(2^n)/(4^n)-1/(4^n)=(1/2)^n-(1/4)^n
と、２つの等比数列になります。
・・・

回答No.4

kkkk2222

誤

（１／２）［（１／２）＾（ｎ－１）］
→（１／２）／［１－（１／２）］＝（１／２）＊２＝１　　

（１／４）［（１／４）＾（ｎ－１）］
→（１／４）／［１－（１／４）］＝（１／４）＊（４／３）＝１／３

正

Σ【ｎ＝１、∞】（１／２）［（１／２）＾（ｎ－１）］
＝（１／２）／［１－（１／２）］＝（１／２）＊２＝１

Σ【ｎ＝１、∞】（１／４）［（１／４）＾（ｎ－１）］
＝（１／４）／［１－（１／４）］＝（１／４）＊（４／３）＝１／３

回答No.3

kkkk2222

＞＞
Sn={1-(2^n)}/(1-2)

Ｓ（ｎ）＝（２＾ｎ）－1

Ｔ（ｎ）＝［（２＾ｎ）－１］／（４＾ｎ）
＝［（１／２）＾ｎ］ー［（１／４）＾ｎ］

［（１／２）＾ｎ］＝（１／２）［（１／２）＾（ｎ－１）］
［（１／４）＾ｎ］＝（１／４）［（１／４）＾（ｎ－１）］
と変形しておき、
無限等比級数の和の公式、Ａ／（１－Ｒ）を使用して、

ｎ→∞　のとき、

（１／２）［（１／２）＾（ｎ－１）］
→（１／２）／［１－（１／２）］＝（１／２）＊２＝１

（１／４）［（１／４）＾（ｎ－１）］
→（１／４）／［１－（１／４）］＝（１／４）＊（４／３）＝１／３

求める解は、
　１－（１／３）＝２／３、　でＯＫと。

回答No.2

noname#47975

Sn/4^n = (1/2)^n - (1/4)^nになる事から、
Σ[k=1→n]Sk/4^k = Σ[k=1→n](1/2)^k - Σ[k=1→n](1/4)^k
ここで、
Σ[k=1→n](1/2)^k = (1/2){1-(1/2)^n}/(1-1/2) = 1-(1/2)^n
Σ[k=1→n](1/4)^k = (1/4){1-(1/4)^n}/(1-1/4) = 1/3{1-(1/4)^n}
より、
Σ[k=1→n]Sk/4^k = 1-(1/2)^n - 1/3{1-(1/4)^n}となり、
lim[n→∞]Σ[k=1→n] = 2/3となります。