無限級数の極限

質問

無限級数 Σ(k=0→∞)a^(k+3)/2・{1/(k+1)-1/(k+3)}
なのですが、
これは、lim(n→∞)1/2Σ(k=0→n)a^(k+3)・{1/(k+1)-1/(k+3)}
で、
a^4・a^(k-1)の等比数列部分と、
前後2項づつが残る1/(k+1)-1/(k+3)部分とから成っています。
別々であれば問題ないのですが、双方の積となっている場合の
解法がどうしても浮かびません。
等比X等差であれば、Snに公比を掛けたrSnを考えますが、
この場合はどのように考えればよいでしょうか。
宜しくお願いします。

回答No.2

Ae610

v[n]=1/(n+1)－1/(n+3)
とおくと
v[0]≧v[1]≧v[2]≧・・・≧v[n]≧・・・≧0

又、0≦a＜1ならばb[n]=a^(n+3)
部分和Σ(k=0～n)b[k]＝Σ(k=0～n)a^(k+3)は有界だから、アーベルの級数変形の方法を用いて
Σb[n]v[n]
＝Σ(k=0→∞)a^(k+3)/2・{1/(k+1)-1/(k+3)}
の収束が示せる様に思う。

お礼

回答有難うございました。
今後の参考にさせていただきます。

回答No.1

Tacosan

log のマクローリン展開, とか?

お礼

回答有難うございました。
参考にさせていただきます。