数列の問題で分からないところがあります。

質問

無限等比級数または一般調和級数と比較することにより、次のことを示せ。
Σ【n=1～∞】1/(1+2^n)は収束
という問題なんですが、画像のa=1/2、r=1/2になるのは何故ですか？どこからきたのですか？お願いします。

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

2^n<2^n+1
両辺を2^n(2^n+1)で割ると
1/(1+2^n)<1/2^n
両辺のΣ_{n=1～∞}をとると
Σ_{n=1～∞}1/(1+2^n)<Σ_{n=1～∞}1/2^n

右辺
Σ_{n=1～∞}1/2^n
=1/2+1/4+1/8+…+1/2^n+…
=a+ar+ar^2+…+ar^{n-1}+…
=Σ_{n=1～∞}ar^{n-1}
は
a=1/2
ar=1/4
ar^2=1/8
…
ar^{n-1}=1/2^n
…
だから
初項
a=1/2
公比
r=1/2
の等比級数となる

r=1/2<1
S_n=Σ_{k=1～n}ar^{k-1}=a(1-r^n)/(1-r)
だから
右辺は
Σ_{n=1～∞}1/2^n=lim_{n→∞}S_n=lim_{n→∞}(1/2){1-(1/2)^n}/(1-1/2)=1
収束するから
Σ_{n=1～∞}1/(1+2^n)<Σ_{n=1～∞}1/2^n=1
左辺は上に有界な単調増加級数だから
左辺も収束する
Σ_{n=1～∞}1/(1+2^n)は収束する

回答No.1

noname#227255

ここは宿題を手伝ってもらうところではありませんよ。
で、あなたの解答は？

※この回答は、削除されないばかりか、『ベストアンサー』に選ばれるのですよね？