必要十分条件の混乱

質問

必要十分条件の混乱

次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2

指針
係数比較法でもできるが、等式の形から、数値代入法を利用する。
数値代入法→a.b.cを求めやすい、適当なｘの値を代入する。
３つのｘの代入でa,b,cは求められる（必要条件）が、この３つのｘ値以外でも成り立つかどうかは不明。よって、恒等式であることを確認する（十分条件）。

教えてほしいところ
まず、恒等式であるかどうかはわからないが恒等式であると仮定して、ｘ＝-1,0,3を代入した。
恒等式であるならば→a=8,b=5,c=5
しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？
また、何故 係数比較法を用いる場合は逆の確認が必要ないんですか？？

回答No.10

naniwacchi · ベストアンサー

#9です。

もう少し言葉を補っておきます。
（補足での問いに対する回答にもなっていませんでしたね。＾＾；）

どうも「問題文で恒等式と謳われているから・・・」という意見がありますが、
この恒等式であるという事柄は、
「前提（仮定）」ではなく「要請（このようになって欲しい）」というものだと思います。
前提というのは、それをもって別の事柄をしめすための条件であって、それ自身を示すことを前提というのは違うかなと思います。

ですので、わたしは質問者さんの最初にとられていた解釈が、一番素直で正しいと思います。＾＾

回答No.11

B-juggler

余計に混乱を生んでいますね・・・。

Ｎｏ．８です。

問題文をもう一度確認してください。

＞次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ

とありますね。

ですから、題意は「恒等式ですよ」と言っています。

もう本当はこれで終わりなんだけど、必要十分条件について考えるのなら、

代入法と使ったのなら、検算はしておかなければならない。

これくらいでいいと思うよ。

あんまり難しくこねくり回さないほうがいいよ。

まだ先に、ふっと分かる瞬間が来るかもしれない。
　＃σ(・・*)なんかそういうのはしょっちゅうだよ。

ヤサグレ代数屋でした　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.9

naniwacchi

#1です。
返答が遅くなってしまいました。すみません。

わたしが解釈している内容は、次のような感じです。

まず、問題では「恒等式となるような a, b, cを求めなさい。」という意味だと解釈しています。
これが仮定であるとは思っていません。

次に、数値代入法ですが、このときは
「恒等式であるならば（仮定）、x= -1, 0, 3といった値を代入しても等式が成り立つはずである。」
という考え方をしているという解釈です。
しかし、「たまたま、この 3つの値だけで値が等しくなっている可能性もあるので、チェックをしておく（逆の確認）」という流れです。

そして、係数比較法については、
「xの値に関係なく等式が成り立つよう、各次の係数が等しくなるような a, b, cを求めている。」
という考え方だと思っています。

一言で言ってしまうと、
具体的に xに値を代入しているかどうかの違いであって、
具体的に代入した場合（数値代入法）はチェックがいりますよね。
ということだと思います。

回答No.8

B-juggler

う～ん、こんばんは。

癖なのかな？少し難しく考える癖が付いていますか？

問題文に、恒等式とありますから、「恒等式かどうか分からない」ということはないわけで、
代入法を使っても、何をやっても、恒等式には違いないわけでね　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

必要十分条件まで行かないと思うけれど・・・。

まぁ、でも疑問を持つことはいいことだから。

恒等式と分からないとして代入したとしたら、恒等式なのかの確認は必要です。
　＃この場合は十分条件になるかな？（同値だからどっちでもいいけどね）

＞しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
＞だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？
ここは、これでいいと思いますよ。
必要ですからね、逆の確認も。恒等式かどうかの確認は必要ですよ。

ただ、点数は引かれるかもしれない。
問題には「恒等式」と書かれているのですから。

最初に、「恒等式かどうか分からないので」と書くと減点されるよ＞＜
単純に、「検算しておく」位でいいと思います。

係数比較法は、恒等式にしか使えない！　ので　むしろそっちの意味で、
逆の確認は必要ないかな？
そういう意味合いが大きいかもしれないです。

あんまり難しく考えすぎるのも、つまづくだけだよ＾－＾
ふっと、将来にあれ？これはなんだろう？　と思うことはあっても、
あんまりこだわらないほうがいいかもしれない。

さっと流して、後からしっかり確認。そういう問題だと思うけどな。

がんばってね。もっと先はあるから。　(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.7

f272

最初に「次の等式がｘについての恒等式であるとき」と書いてあるので，「恒等式であるかどうかはわからないが恒等式であると仮定して」などと思うのは全くの間違いです。

xについての3次式f(x)があるとします。
(A) f(x)=0が恒等式である。
(B) f(x)のx^3の係数，x^2の係数，xの係数，定数項はすべて0である。
(C) ことなる3個の数a，ｂ，ｃについてf(a)=f(b)=f(c)=0である。
という条件はすべて同値です。
したがって，指針で書かれているような恒等式であることを確認することは不要です。ここで重要なのは3次式について，異なる3つの数で0になるようにしているところです。答案にもそれを書かなければ不十分とされるでしょう。

しかし一般に，xについての多項式f(x)があるとします。
(A) f(x)=0が恒等式である。
(B) f(x)のxのすべての次数について係数は0である。
(C) あるaについてf(a)=0である。
という条件は(A)と(B)は同値ですが，(A)と(C)は同値ではありません。(A)から(C)は導けますが，(C)から(A)は導けません。指針ではこのような一般的な場合を想定した書き方になっているのです。だから恒等式であることを確認するとしています。

回答No.6

112233445

回答にはならないと思うのですが、私の勉強にもなると思い
回答しました。よろしくお願いします。
この問題の場合は、与式は恒等式とあるので、図でいうと、＃１さんの右の図になっているので
例えば計算しやすいｘ＝-1,0,1を代入してもとめた、a,b,cが求める解で、a,b,c を代入した式が
恒等式になっているかの確かめは必要ないように思ったのですが、
つまり、質問者の解答の指針にある、「恒等式であることを確認する（十分条件）」は不要に
思えるのですか゛、よろしくお願いします。

補足

僕もそう思います。

回答No.5

mister_moonlight

よく見たら、おかしな事を言ってる回答者もいるし、質問者も計算ミスしてるようだから、係数比較法の解を書いとく。

条件式を展開して、ｘにそろえると、(a+b-c-6)*x＾2＋(a-3b+2c)*x＋(3c)＝0　になる。‥‥(1)
これが任意の実数ｘに対して成立するから、a+b-c-6＝a-3b+2c＝3c＝0であると良い。
逆に、その場合　(1)は0＝0となり、常に成立する。
よって、a+b-c-6＝a-3b+2c＝3c＝0　が必要十分条件である。
実際に計算すると、求める答えは　(a、b、c)＝(9/2、3/2、0)。

回答No.4

mister_moonlight

＞しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？

全く違う。問題文に恒等式と書いてあるだろう。

ｘ＝-1,0,3を代入して得たa=8,b=5,c=5という値は、高々ｘの３つの値に対して成立したに過ぎない。
従って、これが全てのｘの値に対して成立するかどうかの確認が必要だから。
恒等式というのは、全ての変数(この場合は、ｘ)の値に対して成立する式の事。

＞係数比較法を用いる場合は逆の確認が必要ないんですか？？

それは違うよ。
係数比較法でも、各々の係数＝0と置いて(＝必要条件)、逆にその場合は常に恒等式になる事を確認してる(＝十分条件)はずだよ。
もし、それをやってなければ、答案としては不完全。

数値代入法でも、係数比較法でも、見かけは違っても本質は同じだよ。

補足

恒等式であるということが前提だと言っているんですね。
これは、違いますね。そうしたら逆の確認必要ないでしょ？？
えーと　係数比較法で逆の確認必要って言っている人初めて見ました。
これも、違うと思います。

回答No.3

hugen

係数が一致すれば、恒等式になるのは明らか。

補足

そうですね。
関数一致しますし。

回答No.2

noname#119424

>>しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？
正しくない。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2
⇔f(x)=ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)-6x^2=0
もし恒等的にf(x)=0とならないならf(x)は連続で0でない2次以下の多項式だから
f(x)=0となるxの解の個数は2個以下。
しかし、すでに仮定からｘ＝-1,0,3でf(x)=0だからf(x)=0となるxの解の個数は2個以下に
矛盾している。よって恒等的にf(x)=0

だからｘ＝-1,0,3でf(x)=0となるa,b,cを定めれば恒等的にf(x)=0

>>また、何故 係数比較法を用いる場合は逆の確認が必要ないんですか？？
何を言ってる！　係数比較法用いている時点で
"xを任意に対しても"という条件にあることさえ気付いてないのか。

補足

その性質を使えばいいですが、使わない場合ことを議論しているんで・・・・
"xを任意に対してもという条件にあることさえ気付かないのか？？
どういうことでしょうか？？　もう少し詳しく説明してください。
お願いします。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞しかし、あくまで恒等式であると仮定したのであって本当に恒等式であるかはわからない
＞だから、逆の確認が必要であるという考え方で正しいですか？？
そうですね。
適当な値を選んでいるだけなので、これだけでは恒等式であるとは言い切れません。
添付の左図でいえば、
紫の矢印で示した個所の値を代入しているかもしれないからです。
たまたま、そこでの値が一致していても関数全体が一致していない可能性があるということです。
（2次関数なので、3点を与えれば関数全体は一致するようにはなりますが）

＞また、何故 係数比較法を用いる場合は逆の確認が必要ないんですか？？
添付の右図のように、
はじめから一致するものを探す（まさに恒等式）ことから条件を与えているので、特に逆の確認はなくても構わないのです。

補足

naniwacchiさん　恒等式であるときとは前提ではないですよね？？
また、僕の考えが間違っていると上の回答者様に言われたんですが、間違っているんでしょうか？？