3次関数が極値をもつ必要十分条件

質問

3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)＝0が異なる2つの実数解をもつ
なんですよね？
これは、f'(x)＝0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか？

例えば、
3次関数f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋dがx＝0で極大値2をとり、x＝2で極小値－6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。
という問題で、
x＝0で極大値2をとり、x＝2で極小値－6をとる⇒f'(0)＝0、f'(2)＝0
つまりf'(x)＝0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)＝2、f(2)＝－6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

回答No.2

sanori

＞＞＞
つまり今回の問題では、a,b,c,dを求めた後、『a＞0であるから条件は満たされる。』としていいのでしょうか？
f(0)＝2、f(2)＝－6を代入しているのだから、a≠0であることだけ言えればいいようにも思えるのですが、違うんですよね…

全然違います。
ａ＞０　であることを前提として、ａ～ｄを求めることになります。

問題文が「x＝0で極大値2をとり、x＝2で極小値－6をとるとき」と言っている時点で、
すでに、ａ＞０　が確定します。

しかし、まあ、基本から言えば、ａ＞０　を前提とせずに、ｆの２回微分を使って、
・ｆ（０）が極大値であるためには、ｆ’’（０）＜０（ｆはｘ＝０において上に凸）だから、ｆ（０）は極大値、
・ｆ（２）が極小値であるためには、ｆ’’（２）＞０（ｆはｘ＝２において下に凸）だから、ｆ（２）は極小値、　
とするのが「真面目な解答の書き方なんでしょうね。

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)＝0が異なる2つの実数解をもつなんですよね？

はい。

＞＞これは、f'(x)＝0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか？

なります。

＞＞＞
例えば、
3次関数f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋dがx＝0で極大値2をとり、x＝2で極小値－6をとるとき、
定数a,b,c,dの値を求めよ。
という問題で、
x＝0で極大値2をとり、x＝2で極小値－6をとる⇒f'(0)＝0、f'(2)＝0
つまりf'(x)＝0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)＝2、f(2)＝－6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

ｘ＝０とｘ＝２を比較すると、グラフではｘ＝０が左、ｘ＝２が右ですよね。
ａ＞０のときは、ｘ＝０で極大値、ｘ＝２で極小値となります。
ａ＜０のときは、ｘ＝０で極小値、ｘ＝２で極大値となります。

お礼

回答ありがとうございます。

つまり今回の問題では、a,b,c,dを求めた後、『a＞0であるから条件は満たされる。』としていいのでしょうか？
f(0)＝2、f(2)＝－6を代入しているのだから、a≠0であることだけ言えればいいようにも思えるのですが、違うんですよね…