必要十分条件

質問

aを実数とし、xの整式A,B,Qを
　　　　A=x⁴+4x³+(4a-1)x²+(8a-9)x+4a²-11a+6
　　　　B=x²+2x+2a-1
Q=x²+2x+2a-4
とする。さらにR=A-BQとおく。このとき
(1)Rを求めよ。
(2)BをRで割ったときの商と余りを求めよ。またBがRで割り切れるための必要十分条件を求めよ。
(3)QをRで割ったときの商と余りを求めよ。またQがRで割り切れるための必要十分条件を求めよ。
(4)(2)で求めた必要十分条件はAがRで割り切れるための( )。
( )に必要十分条件である、必要条件ではあるが十分条件ではない、十分条件ではあるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない。のどれが当てはまるか。（証明も）

という問題ですが、（1）はR=ｘ-a+2でした。（2）（3）商と余りは出せますがそれ以外の必要条件、十分条件の求め方と書き方が分かりません。（4）は全く手つかずです。すみませんが詳しい解説お願いいたします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

訂正と補足です。

>（４）ａ＝１のときには、ＡはＲで割り切れたが、ａ＝－１のときには割り切れなかった

のところ、以下のようにお願いします。

（４）ａ＝１のときもａ＝－１のときも、ＡはＲで割り切れた

>（２）商＝ｘ＋ａ，余り＝ａ^2－１、
>　　　BがRで割り切れるための必要十分条件は、ａ^2－１＝０→ａ＝－１または、ａ＝１
>（３）商＝ｘ＋ａ、余り＝ａ^2－４
>　　　QがRで割り切れるための必要十分条件は、ａ^2－４＝０→ａ＝－２または、ａ＝２

割り切れるための余り＝０という条件が必要十分条件であることは、因数定理で認められています。
だから、上のような答えになります。
Ａの式の方は同じ条件でも因数定理とは違うようです。

お礼

わざわざありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

回答No.1

ferien

aを実数とし、xの整式A,B,Qを
　　　　A=x⁴+4x³+(4a-1)x²+(8a-9)x+4a²-11a+6
　　　　B=x²+2x+2a-1
Q=x²+2x+2a-4
とする。さらにR=A-BQとおく。このとき
(1)Rを求めよ。
(2)BをRで割ったときの商と余りを求めよ。またBがRで割り切れるための必要十分条件を求めよ。
(3)QをRで割ったときの商と余りを求めよ。またQがRで割り切れるための必要十分条件を求めよ。
(4)(2)で求めた必要十分条件はAがRで割り切れるための( )。
( )に必要十分条件である、必要条件ではあるが十分条件ではない、十分条件ではあるが必要条件ではない、必要条件でも十分条件でもない。のどれが当てはまるか。（証明も）

（１）Ｒ＝ｘ－ａ＋２
（２）商＝ｘ＋ａ，余り＝ａ^2－１、
　　　BがRで割り切れるための必要十分条件は、ａ^2－１＝０→ａ＝－１または、ａ＝１
（３）商＝ｘ＋ａ、余り＝ａ^2－４
　　　QがRで割り切れるための必要十分条件は、ａ^2－４＝０→ａ＝－２または、ａ＝２

（４）ａ＝１のときには、ＡはＲで割り切れたが、ａ＝－１のときには割り切れなかった

（ａ＝－１または、ａ＝１）ならば、ＡはＲで割り切れる　がなりたつから、
（２）の条件は、ＡはＲで割り切れる　ための十分条件
　ＡはＲで割り切れる　ならば、（ａ＝－１または、ａ＝１）は必ずしも成り立たないから、
（２）の条件は、　ＡはＲで割り切れる　ための必要条件ではない。
よって、
(4)(2)で求めた必要十分条件はAがRで割り切れるための( )。
十分条件ではあるが必要条件ではない。

ということではないでしょうか？

お礼

詳しい解説ありがとうございました