必要十分条件

質問

a,b,cを正の数とし、a+b＞cを仮定する。このときa,b,cを三辺の長さにもつ三角形が存在するための必要十分条件は、仮定のもとでは a+c＞bかつb+c＞aである論理がわかりません。どなたかぜひわかりやすい解説をお願いいたします！

回答No.1

mmegganne · ベストアンサー

三角形は、1辺の長さが残りの２辺の長さの和より短くないといけません。

お礼

ご回答ありがとうございました！

回答No.3

mister_moonlight

a+b＞cという条件がなくても証明できる。通常はその場合のほうが多い。

余弦定理を使って、証明しよう。

3辺をa、b、cとし、辺bの対角をＡとすると、余弦定理より　a＾2＝b＾2＋c＾2-2bc*cosＡ。
よって、cosＡ＝(b＾2＋c＾2-a＾2)/(2bc)。0＜Ａ＜πだから、-1＜cosＡ＜1。
従って、-2bc＜b＾2＋c＾2-a＾2＜2bc。
左の2辺から、(b＋c)＾2＞a＾2　→　(a+b+c)*(b+c-a)＞0　‥‥(1)、右の2辺から、(b-c)＾2＜a＾2　→　(a+b-c)*(a-b+c)＞0　‥‥(2).
(1)より、b+c-a＞0.　(2)において、a+b-c＜0、a-b+c＜0とすると、その和＝2a＜0となるから不適。
従って、a+b-c＞0、a-b+c＞0。以上から、b+c-a＞0、a+b-c＞0、a-b+c＞0。
これは、｜a-b｜＜c＜a+b と表しても同じ。　

ついでに、三角形が
・鋭角三角形のとき、cosＡ＞0より　上の条件の他に　b＾2＋c＾2-a＾2＞0　(aが最大辺の場合)が必要になる
・鈍角三角形のとき、cosＡ＜0より　上の条件の他に　b＾2＋c＾2-a＾2＜0　(aが最大辺の場合)が必要になる

憶えておいたほうが良い。良く、使われるから。

お礼

ご回答ありがとうございます。勉強になります。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

a,b,cを正の数という条件下なら、この長さの三角形が存在する必要十分条件は
a+b＞c かつ a+c＞b かつ b+c＞a です。
この３条件はひとつでも欠けると、簡単に反例が作れてしまうので、
３条件そろって必要十分条件です。

さらに、a+b＞c　を問題全体の前提条件として除いてよいなら、
三角形が存在する必要十分条件は a+c＞b かつ b+c＞a
ということになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。参考になります。