必要条件か十分条件か必要十分条件かなんでもないのか？

質問

実数を係数とするxの整式f(x)が、2次式(x-a)(x-b)で割り切れるためには、f(a)=f(b)=０が成り立つことが
（　　　　　）である。
という問題です。
(x-a)(x-b)で割り切れるということは、f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)　とおけるのでしょうか？またその場合、これはいったい何条件なのでしょうか？

もうひとつお願いしたいんですが、
a^2＋b^2<a+b　が成り立つには、a>0　または　b>0が成り立つことが(　　　　）である。
という問題です。
a^2＋b^2<a+bを変形するのでしょうか？どうやって示すか見当がつきません。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.1

hime-ichigo

おっしゃるとおり、(x-a)(x-b)で割り切れるということは
f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)　とおけるということです。
aとbが異なる値であれば、これはf(a)=f(b)=0と同値、つまり答えは必要十分条件のように見えます。
しかし、a=bの場合を考えるとf(a)=0を示しただけでは
f(x)=(x-a)Q(x)　とおけることを示したに過ぎません。
つまり、f(a)=0であることは「必要」だけれども割り切れることを示すために「十分」ではない。
ということで、必要条件でいいのではないでしょうか。

ちなみに、このような問題を考えるときは常に
「条件1から条件2は導けるか」「条件2から条件1は導けるか」
の2点を考え、結果によって答えが決まります。
2つ目の問題で、
a^2＋b^2<a+b　→　a>0　または　b>0
a^2＋b^2<a+b　←　a>0　または　b>0
が成り立つかどうか考えましょう。
成立することを示すには証明、成立しないことを示すには反例が必要です。
→は対偶を考えると「a<=0かつb<=0ならばa^2+b^2>=a+b」
となります。
左辺>=0,右辺<=0なのでこれは真です。
←はa=1,b=0のとき成り立たないので偽。
よって答えは必要条件です。