青チャート 基本例題９（数値代入法）

質問

次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21

解説
係数比較法でもできるが、等式の形から、数値代入法を利用する。
３つのxの値の代入でa,b,cは求められる（必要条件）が、この３つのｘの値以外でも成り立つかどうかは不明。よって、恒等式であることを確認する（十分条件）。
・・・・・・（ここからは省略）

教えてほしい点
次の等式が恒等式であるときと問題に書かれています。
よって、この関係式はどんなｘの値を代入しても成立するということです。
なのに、なぜこの３つのｘの値以外でも成り立つかどうかは不明なんですか？？
教えて下さい。

回答No.4

alice_44

恒等式だと書いてあるから、どんな x についても成り立つことが既に保証されている　…のではなく、
恒等式だと書いてあるから、どんな x についても成り立つことを示してやらねばならない　…のです。
だって、もしかしたら、これはイジワル問題で、「解無し」が正解かもしれないんですから。

x に３個の値を代入して定めた a,b,c について、x に４個めの値を代入しても与式が成立することを
保証する責任は、出題者ではなく、解答者(貴方)にあるのです。数学って、そういうものです。
以下の例題と比較して、よく考えてみて下さい。

例題：
次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数 b,c の値を求めよ。
x(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1) = 6x^2+7x+21.

この問題の場合、解 a,b,c は確かに存在しますが、
「この３つのｘの値以外でも成り立つかどうかは不明。」という文章は、
それ以外の x では成り立たない　…といっているのではなく、
成り立つとしても、答案のここまでの段階では、まだそれが証明されていない　…という意味です。

証明しておけば済むんですから、答案の末尾に、
「この a,b,c を代入して、展開整理すると、両辺は確かに一致している。」と書いておけばよいのです。
出題者を信用するのなら、本当に展開してみなくても、そう書いておくだけです。

補足

しかし、解答には（次数＋１）個の値なら確認は不要らしいです。
恒等式だと書いてあるから、どんな x についても成り立つことを示してやらねばならない　
確かに、そうですね。
でも、なぜ次数＋１）個の値なら確認は不要なんですか？？

回答No.3

noname#109750

あなたが求めた、a,b,cの値を、大文字のA,B,Cで表すとします。

問題で恒等式であるとされているのは、a,b,cという文字で表された不明の数値で表された（いささか不確定な）等式

ax(x+1)bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21

に限られた話であって、あなたが求めた、A,B,Cという数値で表された等式

Ax(x+1)Bx(x-3)-C(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21

が恒等式かどうか、まだ定かではありませんので、それを証明しなくてはなりません。あなたが求めたA,B,Cで表された等式が、３つの値以外でも成り立つかどうか確かめた時、初めて、あなたの求めた等式が恒等式であることが証明され、a=A,b=B,c=Cが問題を満たし、解となります。お堅い話ですが…。

回答No.2

masa072

必要十分の関係でないからです。
xについての恒等式であるということと，特定のxで成り立つことは同値ではありません。
xについての恒等式ならば特定のxで成り立つということは常に成り立ちます。
特定のxで成り立つならばxについての恒等式である（全てのxで等式成立）ということは常に正しいことではありません。
必要十分の関係なら逆が常に正しいので確認は不要ですが，必要十分の関係でないなら，逆が成り立つことを示す（逆が成り立たない可能性もあるため，それを否定する）必要があります。

補足

>必要十分の関係でないからです。
xについての恒等式であるということと，特定のxで成り立つことは同値ではありません。
xについての恒等式ならば特定のxで成り立つということは常に成り立ちます。
特定のxで成り立つならばxについての恒等式である（全てのxで等式成立）ということは常に正しいことではありません。

確かに、特定のｘで成り立つならばｘについて恒等式であるということはないですね。
ですが、a,b,cは定数なのだから方程式３つできればa,b,cは求まる。
もともと、恒等式といっていたのだから確認不要でしょう。
他のｘで成り立つかわからないだろうというのはおかしいと思います。
a,b,cは一定なので結局、恒等式より３つの方程式は成り立つからです。

回答No.1

japaneseda

提案。

数値代入法より、
係数比較法のほうが簡単かつ楽ではないでしょうか？

自分の記憶が確かなら、
数値代入法は面倒でした。