必要条件と「逆に、このとき…」

質問

lim x→-1 (x^3 + ax + b)/(x+1) =2
この等式が成り立つように定数a,bの値を定めよ。

のような、必要条件
　lim x→c f(x)/g(x) =d かつ lim x→c g(x) =0 ならば、
　lim x→c f(x) =0
を用いる問題で、
「体系数学」という教科書には、
「逆に、このとき…」という記述が必要だと書いていましたが、
青チャートには、
必要条件（b=a+1）を使って実際に極限を計算して、
=2となるように求めたa,bは、
与えられた等式が成り立つための必要十分条件であるから、
「逆に、このとき…」の記述は必要ないと書かれていました。

どちらが正しいのでしょうか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

基本的には、十分条件の確認は必要。
一般論として、他の趣の異なる問題で、明らかに必要十分条件である場合は許されるとして。。。。

＞青チャートには、必要条件（b=a+1）を使って実際に極限を計算して、=2となるように求めたa,bは、与えられた等式が成り立つための必要十分条件であるから、「逆に、このとき…」の記述は必要ないと書かれていました。

チャートの解を質問者の文面通りに解釈する。

この種の問題で、必要条件として求めたものが、十分条件でもある事は経験的に知っているが、チャートのように済ませるなら、論証が必要。
（その場合、その論証が十分条件の確認になってしまう）
それが出来るなら、チャートの解でも許されるだろう。
ただ“必要十分条件である”と書いただけなら、入試で減点の可能性はある。
必要条件として求めて十分条件でもある事を確認した答案と、論証もなしに必要十分条件であると書いた答案と2種類の答案が出てきたら、採点官が2つの答案に、差をつけても不思議ではない。

チャートは所詮は参考書、教科書ではない。

回答No.1

arrysthmia

その、青チャートの解答例は、

lim (x~3+ax+b)/(x+1) が収束するために、
lim (x~3+ax+b) = 0 が必要である。
よって、-1-a+b = 0。
逆にこのとき、lim (x~3+ax+b)/(x+1) は収束して、
極限の値は a+1。これが、= 2 であるために…

という流れだろうと思います。
このスタイルでは、必要条件 b = a+1 を
導いた直後に、すぐ、十分性を確認していますから、
末尾に再度確認する必要は無いのです。
体系数学とは、「逆に」の位置が違うだけです。