必要条件の問題です

質問

x≧0,y≧0として、不等式c(x＋y)≧2√(xy)を考える。ただし、cは正の定数）
(1)が常に成り立つならば、c≧1であることを示せ。

解答；(1)が常に成り立つことより、(1)において、x=yのときも成り立つことが必要であるから、x=y=1とすると、
2c≧1
よってc≧1

これはx=y=1と代入していますが、なぜこの値を代入しただけで答えだと証明完了だと言えるのでしょうか？
またこの値は自分で推測して代入するということなのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

＞これはx=y=1と代入していますが、なぜこの値を代入しただけで答えだと証明完了だと言えるのでしょうか？

出典はわからないが、親切な解答ではない。
慣れているものには良いが、あまり薦められない解。

x＝y＝0の時は常に成立するからcは正の任意の定数。
x＞0、y＞0の時は、相加平均・相乗平均より　x＋y≧2√(xy)　等号はx＝yの時。つまり、1≧（2√(xy)）/（x＋y）。
従って、c≧1。

別解として、x＋y＝m、(xy)＝n＾2とすれば、m≧0、n≧0、m＾2-4n＾2≧0で、cm≧2nが常に成立する条件を考えても良い。
つまり、m≧2n≧0でcm≧2nが常に成立する条件を考える。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.2

fujillin

設問が　「c≧1を示せ」　なので、これが成立することを示すだけでよいからです。（前提条件は（１）が常に成り立つとして）

単にx=yとしても　c(x＋x)≧2√(x・x) となって同じ結果が得られますね。
さらに、x=9yと仮定すれば　c(x＋9x)≧2√(x・9・x)　となり、c≧6/10=0.6という結果も得られますが、求められているのがc≧1なので、わざわざ面倒な計算でc≧0.6を示す必要はなく、簡単な計算による証明のほうがスマートだからでしょう。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.1

Quattro99

> 2c≧1
2c≧2ですよね？

常に成り立つ場合のcの最小値を求める問題ではないからです。
少なくともc≧1であることが証明できればよいということです。
常に成り立つ場合の最小値がαだとすると、αは1以上のはずです。1より小さいとx=y=1のとき成り立ちませんから。
常に成り立つ場合のcに対して、c≧αで、α≧1ですから、c≧α≧1となりc≧1は必ず成り立ちます。αは2かも知れませんし10かも知れませんが、c≧1も必ず成り立ちます。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。