恒等式

質問

この前の質問で２次の恒等式に関する定理（一般的ではないですが・・）について整理がつきました。
回答してくれた皆様有り難うございます。
さてここからが本題です。

問題
次の等式がｘについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21

教えてほしいところ
・この問題を数値代入法で解こうとすると、わざわざ次数＋１個の値を代入してるので等式が成り立つから、恒等式である。という説明をするか
逆の確認が必要です。
要するに、この問題では恒等式であるという説明が問題にあっても実際、恒等式であるかわからないという慣習（？）みたいなもんがあるらしいです。
・では、この問題を係数比較法で解こうとすると、慣習に従うとこの式は恒等式であるかわからないのにもかかわらず、係数比較法を用いています。
両者の解き方で、上は恒等式であるかわからないと言っているのに、下では
恒等式であるとわかっている状態で解いているのは矛盾じゃないですか？？

回答No.10

alice_44

論理について、あまり凝る必要はありませんが、
最低限のことは身につけておきましょう。

a x(x+1) + b x(x-3) - c (x-3)(x+1) = 6 x^2 + 7 x + 21
に何か３個の x を代入すると、
a = 8, b = 5, c = 7 が求まる訳ですが、

これを計算することは、命題
『 a x(x+1) + b x(x-3) - c (x-3)(x+1) = 6 x^2 + 7 x + 21
が x についての恒等式であるならば、 a = 8, b = 5, c = 7 』
を証明したことになります。

No.4 No.7 で「自明でない」と言っているのは、
それの逆である『 a = 8, b = 5, c = 7 ならば、
a x(x+1) + b x(x-3) - c (x-3)(x+1) = 6 x^2 + 7 x + 21
が x についての恒等式である 』という命題のことであって、
『 a x(x+1) + b x(x-3) - c (x-3)(x+1) = 6 x^2 + 7 x + 21
が x についての恒等式である 』という主張のことではありません。

そもそも、
『 a x(x+1) + b x(x-3) - c (x-3)(x+1) = 6 x^2 + 7 x + 21
が x についての恒等式である 』という文は、
変項 a,b,c を含んでいるので、「命題」ではなく、「述語」です。
自明か自明でないか以前に、
a,b,c を束縛するまでは、真偽を定めることすらできません。

回答No.9

tsukita

Ｎｏ８の回答で誤りがありました。

【数学IIの教科書ガイド】
・東京書籍版
・第一学習者版
・啓林館版
・数研版

⇒
～が恒等式となるとき、【←、～が恒等式となるように、の誤り】
～が恒等式であるように、

回答No.8

tsukita

＞自明でない主張には証明をつけておかないと、
＞数学の文章としては欠陥アリとみなされます。
＞主張が結果的に正しいだけでは、十分ではありません。
＞これは、数学が数学であるための本質的な部分です。

ですから、自明か自明でないかではなく、
私（とおそらくluutさん）は、『恒等式であるとき』と言ってるわけだから、『恒等式であることは自明だ』『恒等式であることを示す必要はない』と考えています。

つまり、『～であるとき』は、問題を解くときの“仮定”ではなく“前提”と捉えます。

『～であるとき』を自明でないと主張するならば、
例えば、x＝2であるとき、x^2+5x+6の値を求めよ、
という問題をとくときに、x＝2を代入できないことになります。

＞『次の等式がｘについての恒等式であるとき、～』と
＞『次の等式がｘについての恒等式となるように、～』の
＞内容は、同一です。

どうして同一といえるのか、（私には）根拠がわかりません。

＞これは、数学地方の方言というより、
＞普通の日本語の範疇で考えられる事実だと思います。

“数学の方言”や“普通の日本語の範疇”という表現は、数学を議論するには曖昧です。

※私は、質問者に間違ったことを認識させないよう、
私なりに根拠を持って回答しているつもりです。

例えば、書店で教科書ガイドや問題集に目を通しました。
一応、以下の事実を確認したつもりです。

【数学IIの教科書ガイド】
・東京書籍版
・第一学習者版
・啓林館版
・数研版

⇒
～が恒等式となるとき、
～が恒等式であるように、

というように、恒等式であることを確定していない表現を用いている。

・実教版
⇒
代入法を扱っているものを見つけることができなかった。

【問題集（数研出版のチャート）】
・青チャート⇒～であるとき、
というように設問されており、逆の確認をしている。
・黄チャート⇒～となるように、
と恒等式であることを確定していない表現を用いている。

以上のようなことがわかっています。
ですが『青チャートと黄チャートのそれぞれの出版年月日を調べるべきだった』『同じ数研出版で、青チャートと黄チャート、教科書での表現が異なるのはなぜ？』『文科省で専門家による検定がされている教科書そのものの確認ができていない』など、私にも課題があります。また、じっくり調べる時間もないので、見落としがあったかもしれません。だから、あまり、こういった事実は質問の答えには書きたくなかったのです。

書くとすれば、“教科書”の現物のみがもっとも市民権を得ていると思いますので、先の私の回答で引き合いに出しました。

私は、ただ、質問者に確かではないこと
＞『次の等式がｘについての恒等式であるとき、～』と
＞『次の等式がｘについての恒等式となるように、～』の
＞内容は、同一です。
を質問者に安易に認識して欲しくないだけです。

回答No.7

alice_44

＞ 自明、非自明が問題ではなく、
＞ そもそも示す必要があるのかというところが、
＞ このＱ＆Ａの焦点ではないかと。

自明でない主張には証明をつけておかないと、
数学の文章としては欠陥アリとみなされます。
主張が結果的に正しいだけでは、十分ではありません。
これは、数学が数学であるための本質的な部分です。

『次の等式がｘについての恒等式であるとき、～』と
『次の等式がｘについての恒等式となるように、～』の
内容は、同一です。
これは、数学地方の方言というより、
普通の日本語の範疇で考えられる事実だと思います。

回答No.6

tsukita

回答者Ｎｏ３です。

私は、質問者の方は、恒等式に関してではなく、論理の部分に疑問を持っていると受け取っています。

代入法を用いて、a=p，b=q，c=rとa,b,cの値が得られたとして、
このa=p，b=q，c=rを
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21
に代入して、これが恒等式にならないとします。

ここで、逆の確認をしなかった場合、（何も疑問に思わないので）回答として
a=p，b=q，c=r
と主張することになると思います。

ではa=p，b=q，c=rは間違いなのでしょうか？

つまり、主張（命題）
『等式ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21がｘについての恒等式である　⇒　a=p，b=q，c=r』
は間違いなのでしょうか？

これは、間違いではないはずです。
数学に、“論理”という分野があります。
この論理においては、『ＰならばＱ』という主張について、
Ｐが偽のとき、Ｑが真であるか偽であるかに係わらず、
『ＰならばＱ』という主張は真であると考えます。

ちょっと高校生には難しい話ですが、簡単にいうと、そもそも『等式ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21がｘについての恒等式である』という主張が間違っているなら、答えに何を主張しても正しいということです。

ですので、逆の確認をしないで求めた答え
a=p，b=q，c=rだって正しいということです。

繰り返しになりますが、私は出題者のことばの使い方が悪いと思います。“～であるとき”と“～となるように”な厳格に区別すべきです。

ここで、現実問題を考えてみます。
私の認識では、教科書には、
(1)次の等式がｘについての恒等式となるように、～
(2)次の等式がｘについての恒等式であるとき、～
の両方の記述がなされると思います。
教科書の出版会社によって、どちらかに統一されているかと思います。

ですが、代入法を使った係数決定法を説明している問題に限ってみれば、
(1)次の等式がｘについての恒等式となるように、～
という問題しか見たことがありません。
※10年弱前の教科書を2社について確認しただけなので、
　説得力に欠けますが・・・。

luutさんの教科書はどうなっているでしょうか？
代入法で解説が説明された問題はありますか？
もしあるなら、その問題文はどうなっていますか？

私は、『Ａが恒等式であるとき～』と主張しているのに
確認を必要とする問題はまだ納得できないのですが、
そういった問題もたくさんあるのかなと、
思えてきました。

ですので、私は恒等式の確認が必要があることを説明することができませんが、学校の試験や入試で点数を落とさないためには、恒等式の確認をした方が損はしないのだと思います。

＞そもそも逆を書いてどれくらいの負担になりますか？
＞この部分に拘泥し続けて
＞あなたはどれくらいの時間を浪費してますか？
＞時には疑問は疑問として放置して
＞先に進んでいけばいつのまにか解決してることだってあります．

私は、luutさんは、逆を書くことを負担には思っていないし、
時間だって浪費していることもわかっているのだと感じています。
試験だけを考えれば、問題を数多くこなす方がいいのでしょうが、
個人的には、数学の本質的な部分に疑問を持つことは大切だと思います。もし時間が許すのであれば、今回の恒等式の部分に限らず、数学の色々なところについて、ただ解法を暗記するだけでなく、納得しながらとりくんで欲しいと個人的には思います。

＞No.1 No.2 さんにもあるように、
＞必要性が、あまりにも自明なのに比べ、
十分性のほうは、そこまで自明でもないので、
理由を書いておかなければ、求めた a,b,c が
解であることを示したことにならない。
…というだけの話です。

私は、luutさんは、自明である、自明でないの議論をしているのではないと受け取っています。自明、非自明が問題ではなく、そもそも示す必要があるのかというところが、このＱ＆Ａの焦点ではないかと。

長くなってしまいましたが、結論としては、

（私は）示す必要が数学的にないと思いますが、
試験の点数のためには示した方が無難かな、と考えます。

ただし、繰り返し注意しますが、

『次の等式がｘについての恒等式であるとき、～』
は恒等式である確認は必要ないと（私は）考えますが、
『次の等式がｘについての恒等式となるように、～』
のときは必要ですからね。

専門家ではないので、一意見として受け取ってください。

回答No.5

kabaokaba

>要するに、この問題では恒等式であるという説明が問題にあっても実際、恒等式であるかわからないという慣習（？）みたいなもんがあるらしいです。

慣習なんかじゃなくって，すべてに当てはまります.
数学には「解なし」という答えだってあるんです．
「f(x)=g(x)が恒等式であるときXXXを求めよ」
ってときに「どうやっても適切な解がない」場合は
「解なし」だとか「恒等式にはなりえない」とか．

例えば，あまりいい例ではないかもしれないけど
「xについての方程式 ax=b をとけ」って問題で
方程式っていってるんだから x= b/a
っていってるのと同じような感じです.
これでは駄目．
＃これが「xについての一次方程式 ax=b をとけ」だと
＃話は別なんだけど

あとね，そもそも「問題の解答」ってのは
あなたがその問題を正しく理解し，
正しく解いているということを
あなたのことを知らない採点者に主張して，
点数という評価を得るものなのです．
だから，妙な省略をしてある意味かっこつけるよりは
多少冗長であっても，
「私はわかって書いているんだ」ということを
明確にする意味で，この問題は
必要性を用いて解（の候補）を導出し，
これは必要性から導出してるから十分性が怪しいってことも
分ってるから，チェックもきちんとしてるぞと
主張するほうが間違いないのです．
「次数＋１」の定理なんてのを適用することを
いちいち考えるよりもとっとと逆を示してすませるほうが
間違いないのです．
＃そもそも質問者は前の質問で、
＃何が定理なのかわかってなかったでしょう？

そもそも逆を書いてどれくらいの負担になりますか？
この部分に拘泥し続けて
あなたはどれくらいの時間を浪費してますか？
時には疑問は疑問として放置して
先に進んでいけばいつのまにか解決してることだってあります．

なお，数学的にはalice_44さんのご指摘の通りです．

回答No.4

alice_44

質問文に御自分で書いてあることが全てです。

次数+1 個の値を x に代入すれば
結果的に必要十分であることは、
出題者も解答者も御互い百も承知なのですが、

No.1 No.2 さんにもあるように、
必要性が、あまりにも自明なのに比べ、
十分性のほうは、そこまで自明でもないので、
理由を書いておかなければ、求めた a,b,c が
解であることを示したことにならない。
…というだけの話です。
この場合、十分性もよく知られているから
イイじゃん …で通用するのであれば、
全ての証明問題が、「自明。証明終了。」
で済んでしまいます。

←A No.3
それでは、大幅減点です。

回答No.3

tsukita

出題者があまりにも“ことば”に注意を払っていないため、錯誤が生じていると考えます。より具体的には、

【問題】-------------------------------------
次の等式がｘについての恒等式“であるとき”、定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21
---------------------------------------------
に対しては、luutさんの考え方に従います。
恒等式であると保証されているわけですから、
十分性を示す必要はないのではないでしょうか。

一方、
【問題】-------------------------------------
次の等式がｘについての恒等式“となるように”、定数a,b,cの値を求めよ。
ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21
---------------------------------------------
に対しては、逆を示す必要があります。
これは、まだ、恒等式になることがわかっていませんので、
仮に恒等式になるとして代入法を用い、
恒等式になるための必要条件（a,b,cの値）を求めます。
ですが、恒等式になることは問題を解くときに仮定したことなので、
もとの式に求めたa,b,cの値を代入して、
恒等式になっていることを見ます。
これが十分条件であることの証明に対応しています。

以上のように、私はluutさんの主張は間違っていないと思います。

回答No.2

noname#108210

>次数＋１個の値を代入してるので等式が成り立つから、
>恒等式である。

等式が恒等式であるという仮定があるので
次数＋１個の値を代入しても，等式は成り立つ。
それをもとに，a,b,c,d　の値を求める。
したがって，このときのa,b,c,d　は等式が恒等式である
ための必要条件であって，十分条件であるかどうか分からない。
だから，

>逆の確認が必要です。

>この問題では恒等式であるという説明が問題にあっても実際、
>恒等式であるかわからないという慣習（？）みたいなもんが
>あるらしいです。

そんなものはありません。

係数比較法では，例えば，
ax^2+bx+c=ex^2+fx+e　が恒等式　⇔　a=e　かつ　b=f　かつ　c=e
を根拠にしているのであって，矛盾などしていません。

もう一度教科書を，「注意深く」読んでみましょう。

補足

次数＋１個の値を代入すれば逆の確認は必要ありませんよ。

回答No.1

carvelo

>両者の解き方で、上は恒等式であるかわからないと言っているのに、下では
>恒等式であるとわかっている状態で解いているのは矛盾じゃないですか？？

どちらの解き方も，与式が恒等式であることを使ってますよ．

1つ目は
「与式が恒等式 ⇒ xに何か具体的な値を適当に入れても等号が成立する」
ということを使ってます．
でもこの場合，逆が必ずしも成り立つとは言えないので，逆の確認が必要になります．
つまり，
・与式が恒等式であれば，例えばx=-1やx=3の場合にも等号が成立しなきゃいけない（必要条件．ここで与式が恒等式であることを使っている）
・上では必要条件であることしか見てないから，十分条件になっていることも確認しなきゃ（十分性のチェック）
という流れです．

2つ目は
「与式が恒等式 ⇔ xの各次数の項の係数が全て等しい」
ということを使っています．

補足

tsukitaさんが書いてくれた事が全てです。
＞でもこの場合，逆が必ずしも成り立つとは言えないので
こう言えるのはなぜですか？？