f(z) = 1/(2-z) を |z|<2 で整級数に展開したとき、

質問

f(z) = 1/(2-z) を |z|<2 で整級数に展開したとき、z^3の係数は何か？
という問題で答えは1/16になっています。

解答には
|z|<2では
f(z) = 1/{2(1 - z/2)}
= 1/2 Σ[n=0,∞](z/2)^n
となります。

と書いてあります。
何故1/{2(1 - z/2)}は
1/(2-z)の分母の2を前に出したんですか？

それと、
1/2 Σ[n=0,∞](z/2)^n
の1/2はそのまま前に出したものとしても、
1/(1 - z/2)
がΣ[n=0,∞](z/2)^nになるのは何故ですか？
そういう公式がありますか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>何故1/{2(1 - z/2)}は
>1/(2-z)の分母の2を前に出したんですか？

|z|<2から
|z/2|<1
これが収束条件になります。
なので2を括りだしてx=(z/2)の項のべき乗展開にしただけです。

>の1/2はそのまま前に出したものとしても、
>1/(1 - z/2)
>がΣ[n=0,∞](z/2)^nになるのは何故ですか？

1/(1-x)＝Σ[n=0,∞] x^n (|x|<1)

というテーラー展開の公式（参考URLの幾何級数の所に公式そのものが載っています）
でx=z/2とおけば質問の展開式になります。
収束条件が|x|=|z/2|<1です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/テイラー展開

お礼

遅くなりました。
なるほど、右辺を1にして収束条件にしたんですね。

> 1/(1-x)＝Σ[n=0,∞] x^n (|x|<1)

見つけました。
こんなのあったかな、と教科書を見てみると
幾何級数の例がちゃんと載っていました（左辺と右辺が逆に載っていましたが）。
収束する理由もこれで分かりました。
ありがとうございました！

補足

後でお礼します。しばらくお待ち下さい。m(__)m

回答No.2

alice_44

等比級数の公式ですね。

1/(2 - z) という式を、等比級数 Σ[k=0→∞] ar↑k の和
a/(1 - r) の形にするために、
問題の式で分母の 2 の箇所が 1 になるように、
分子分母を同じ 2 で割ったのです。
その結果、a = 1/2, r = z/2 となりました。

a を前に出したのは、
Σ に関する共通因数の括り出しですよ。

お礼

遅くなりました。
なるほど、2の箇所を1にしたかったがために
他の部分に皺寄せがきてa = 1/2, r = z/2 になったんですね。
等比級数（幾何級数）は覚えておきます。
ありがとうございました！