べき級数展開 なぜ |z|<1？

質問

次の関数を、括弧内を展開の中心としてべき級数展開せよ。

f(z) = z^2 / (1-z^2)
(z = 0)

まず、u = z^2 として、u = 0 でマクローリン展開しました。
g(u) = u / (1-u)
a[n] = { g^(n) (0) } / n!
= 1 / { (1-u)^(n+1) } | u=0
= 1
よって、
g(u) = Σ[n=1,∞] u^n

収束半径は
1/R = lim[n→∞]　1/1 = 1
となるから、
べき級数展開は|u| < 1 に対して成立。
したがって、u = z^2 を用いて置き直すと、
f(z) = z^2 / (1-z^2)
= Σ[n=1,∞] (z^2)^n
= Σ[n=1,∞] z^2n

(|z^2| < 1)　　　　　←

・・・と計算しました。
Σ[n=1,∞] z^2n は合っていたんですが、
解答では収束半径のところは
(|z| < 1)
になっていて2乗がありません。
収束半径なので |z| でもなんとなく納得するのですが、
「u = z^2 を用いて置き直す」という工程と矛盾してるようで気持ちが悪いです・・・。
2乗が消える理由、または「u = z^2 を用いて置き直す」をスキップする理由を教えてください。お願いします。

回答No.3

uyama33 · ベストアンサー

もし、収束半径が３だったら、
(|z^2| < ９)、(|z^3| < ２７)
と書きますか・
それとも、
(|z| < ３)
と書きますか。

お礼

ありがとうございます！
今回は「たまたま」(|z^2| < "1")だったので、(|z| < 1)とまとめられた、というだけですね。
とても分かりやすい説明でした
（そして、やはり置き直す必然性は大アリですね・・・(-_-;)）。
大変助かりました。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

この問題において「u = z^2 を用いて置き直す」必然性が思いつきません. 「スキップする」もなにも, そもそも不要.

お礼

ありがとうございます。
その必然性が思いつかない、そもそも不要な理由はなんですか？

ちなみに、一つ前の例題は f(z) = 1/z について、z=1を中心としてべき級数展開するもので、u = z-1 とおいて g(u) = 1/ (u+1) と変形し、u=0でマクローリン展開し（中略）、べき級数展開は|u| < 1 に対して成立。したがって、u = z-1 を用いて置き直すと、
f(z) = 1/z
= Σ[n=0,∞](-1)^n * (z-1)^n
(|z-1| < 1)
・・・という解答でした。
なぜ、この場合は置き直して、今回の場合は置き直す必然性が無いのでしょうか？