次のzの整級数の収束半径を求めよ。

質問

次のzの整級数の収束半径を求めよ。
Σ[n=0,∞] 1/n! ・ z^n

…という問題で、答えは∞になっています。

n乗ならコーシー・アダマールの公式
1/ρ = lim[n->∞]の上限値 |C_n|^(1/n)
が使えるんですが、階乗なのでどうしたらいいのか…。

結局、コーシー・アダマールの公式を使ってみました。
計算機で　limit((n!)^(1/n),n,∞)　の結果が　∞でした。
ということは、nの階乗とn乗根なら、どうやら
nの階乗の方が速く増大するみたいですね。

あれ？
でも、収束半径は右辺の逆数ですから、
本の答えの+∞にするためには、右辺は0でないといけませんよね？

どうやって計算するのか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

1/ρ = limsup[n→∞] |1/n!|^(1/n) = 1 / liminf[n→∞] |n!|^(1/n)
だから、ソレで何も変じゃないでしょ。

log |n!|^(1/n) = (1/n) log (n!) = (1/n) Σ[k=1…n] log k
を区分求積法で！

お礼

遅くなりました。
質問直後に気付いたのですが、計算機を使わなくても、
2のべき乗と階乗を0から並べると
1 2 4 8 16 32 64
1 1 2 6 24 120 720
…で、圧倒的に階乗の方が大きくなりますね。
べき乗される数が2より大きくても最終的には階乗の方が上ですね、きっと（？）。

> 1/ρ = limsup[n→∞] |1/n!|^(1/n) = 1 / liminf[n→∞] |n!|^(1/n)

逆数だと上限と下限がひっくり返るんですね。
考えたこともなかったです。

> log |n!|^(1/n) = (1/n) log (n!) = (1/n) Σ[k=1…n] log k

limit[n->∞](1/n) Σ[k=1…n] log k
で、やはり∞を得ました。
ありがとうございました！

補足

後でお礼します。しばらくお待ち下さい。m(__)m