フーリエ級数展開について

質問

xsin(x)のフーリエ級数展開で困っています。

xsin(x)は偶関数なのでコサイン成分だけを考えます。
sin(x)cos(nx)は積和の公式で1/2*(sin(n+1)+sin(n-1))となります。
1/π∫{xsin(n+1)＋xsin(n-1)dx}を部分積分を利用して解きます。

ここで、第二項目なのですが、整理すると(-1)^n/(1-n)になるんですよね。
第一項目と合わせると係数は2(-1)^n/(1-n^2)となりました。
ここで、n=1の時分母が0になってしまい、係数が無限になってしまいます。この扱いをどうすればいいか分かりません。

2(-1)^n/(1-n^2)はnが２以上の時として、n=1についてはまた別で計算すればいいんでしょうか？

フーリエ級数の問題は大体n=0とn=1以上で場合分けされており、n=0、n=1、n=2以上となっているのは見たことがありません。ですので、心配になったので質問しました。よろしくお願いします。

回答No.2

IveQA · ベストアンサー

場合分けは必要があれば行うもので他の計算での要否は無関係。
もし問題がxsin(3x)のフーリエ級数展開だったらどう場合分けする？
xsin(x)ではn=1での場合分けが必要。
結果を見ると合ってるから多分書き間違いだと思うけど
積和の式で符号が違っているよね。

お礼

それを聞いて安心しました。ありがとうございます。

回答No.1

Ae610

n=1の時は
an = 2/π・∫[0,π]xsinxcosxdx = 1/π・∫[0,π]xsin2xdx
・・・によって計算すればよいと思う。

お礼

ありがとうございます。