ローラン展開と分数の分解

質問

複素関数のローラン展開について学習中の者です。

以下の問題において、分数関数の分解の仕方によってローラン展開の表し方が変わってしまうのですが、どこが間違っているのか助言をお願いします。

問題
f(z) = 3z^2/{(1-2z)(1+z)} を　z = 0 のまわりでローラン展開せよ。

1.分数関数の分解を　f(z) = z/(1-2z) - z/(1+z)　としたとき、1/(1-z)のマクローリン展開などを利用してローラン展開は

f(z) = z* Σ(2z)^n - z*Σ(-z)^n
　　= Σ{2^n + (-1)^(n+1)}z^(n+1)　　(|z| <1/2) ...(*)

となると思います。（ただしΣはn=0~∞の無限級数を表す）
ちなみに出題者の解答はこちらでした。

しかし

2.分数分解として ｆ（ｚ）=　2z^2/(1-2z) + z^2/(1+z)　とすることもできます。この場合、ローラン展開は

f(z) = z^2{ 2*Σ(2z)^n　+ Σ(-z)^n }　
　　　= Σ{ 2^(n+1) + (-1)^n }z^(n+2) (|z| < 1/2) ....(**)

となると思います。

(*)と（**）ではzの項の有無など決定的な違いがあり、同じ級数だとは思えません。
同じ関数を展開したのにどうしてこのような違いが生じてしまうのでしょうか？

何かまずい計算過程でもあるのでしょうか？
それともこの二つの級数は実際は同じなのでしょうか？

どなたかアドバイスをお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

f(z) = Σ{ 2^n + (-1)^(n+1)} z^(n+1)　　 (|z| < 1/2)　　…(*)
と
f(z) = Σ{ 2^(m+1) + (-1)^m } z^(m+2)　　(|z| < 1/2)　　…(**)
は、同じ式ですが？
単に、n = m+1 だというだけです。
z^1 の係数は、どちらも 0 で同じだし。

質問の内容とは関係ありませんが、
z = 0 で正則な関数を「ローラン展開」しようとしているのは、何故ですか？
テイラー展開と同じになるんですけど。

お礼

・・・なんというケアレスミス！
zの項の具体的な計算を怠ってしまったことが原因のようですね。
ご指摘ありがとうございました。

＞テイラー展開と同じになるんですけど。

実のところ、実際の参考書では
f(z) = 3/(z+1)(z-2)という関数を「無限遠点のまわりでローラン展開せよ」という出題でした。

それを解く過程で、、f(1/z) =　 3z^2/{(1-2z)(1+z)}を　z=0　のまわりでローラン展開しようとしたのが本質問の出たきっかけです。計算後、結果的にはテーラー展開と同じになりましたが、それに気づかず流れでご質問した次第です。