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この問題について教えてください!
この問題について教えてください! dで通常のR^2上の距離を表すことにする。 以下で定義された写像~d：R^2×R^2→Rが、距離の性質を満たすことを示せ。 ~d((x1,y1),(x2,y2)):=|x1-y1|+|x2-y2| for (x1,y1),(x2,y2)∈R^2 よろしくお願いします。
- chibin1213
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以下の4つを証明すればよいかと。 ・非負性 ~d((x1,y1),(x2,y2))>=0 は定義より明らか ・非退化性 (x1,y1)=(x2,y2)のとき、~d((x1,y1),(x2,y2))=0 逆に、~d((x1,y1),(x2,y2)=0のとき、(x1,y1)=(x2,y2)も明らか ・対称性 ~d((x1,y1),(x2,y2)=~d((x2,y2),(x1,y1) は定義より明らか ・三角不等式 ~d((x1,y1),(x2,y2)+~d((x2,y2),(x3,y3))>=~d((x1,y1),(x3,y3) については、 左辺=|x1-x2|+|y1-y2|+|x2-x3|+|y2-y3| ={|x1-x2|+|x2-x3|} + [|y1-y2|+|y2-y3|] 右辺=|x1-x3|+|y1-y3| ={|(x1-x2)+(x2-x3)|} + [|(y1-y2)+(y2-y3)|] 両辺の｛｝内、[]内をそれぞれ比較します。 左辺｛｝内の平方=|x1-x2|^2+|x2-x3|^2+2|x1-x2||x2-x3| 右辺｛｝内の平方=(x1-x2)^2+(x2-x3)^2+2(x1-x2)(x2-x3) なので、左辺の｛｝内>=右辺の｛｝内。 []内の比較についても同様。 ・・・ということで、三角不等式を満たします。 Wikipedia「距離空間」によれば、この~dはマンハッタン距離と呼ばれる もののようですね。
お礼
丁寧に書いていただき、本当にありがとうございました。゜(゜PД`q゜)゜。