濃度の問についてご教授願います。

質問

(1)は途中まで解いてみました。(2)(3)はどのように証明してゆけばよいのでしょうか？お願いいたします。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　問題
　集合Ｘの濃度を♯Ｘであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ＝0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}＝１である。集合Ｘから集合Ｙへの写像全体の集合をＹ^Ｘと表す。
更に、濃度のべき乗〖(♯Ｙ)〗^(♯Ｘ)を♯〖(Ｙ〗^Ｘ)と定義する。以下の問いに答えよ。

(1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２かつ♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２ならば、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)＝〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)を証明せよ。

(2)０^(♯Ｘ)を求めよ。

(3)特に、０⁰を求めよ。
＜解答＞

(1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２より、ｆという全単射が存在。♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２より、ｇという全単射が存在。(仮定より)

また、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)よりｈという写像がおける。〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)より、iという写像がおける。(示すべきものより)

　これより、
Φ：〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)→〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)
　が全単射であることを言えばよいと分るのですが、「全射をどのようにして、定義にもちこむか、単射をどのようにして、定義にもちこむか」が不明です。お願いします。
　(※ｈ＝ｇ⁻¹◦i◦ｆ、ｉ=(g)◦ｈ◦ｆ⁻¹と表せますが、何か使えますでしょうか)

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

うぅ～ん, 書いてあることを読むと「『なんとなく』理解している」ような感じにもなるんだけど, 「なんとなく」しか理解できていないように思える....

たとえば
「〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)よりｈという写像がおける。」
って, 何のことやらさっぱりわからんのだよね. 「写像」というからには始域や終域があるはずなんだけど, なぜ隠すの?

あと,
「Φ：〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)→〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)
　が全単射であることを言えばよい」
もなんのこっちゃって感じ. これ, 矢印の前も後ろも濃度 (平たく言えば「数字」) だよね. で, たとえば
Φ: 5→8 が全単射
っていう?

「♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２より、ｆという全単射が存在。」という文章から (ここも f が「何から何への」全単射か, ってちゃんと書かないとだめだけど) 「示すべきこと」が分かっているかのように思えるんだけどその一方で上のように書かれると理解できていないようにも「え?」って思っちゃう. 最初にも書いたんだけど「大筋で分かっているような感じもするけど感覚的にとらえてるだけで正確には理解できていない」ってところかなぁ.

ああ, (※) は使います. というか, ほとんどそれがすべて.

補足

Φ：(Ｙ₁)^(Ｘ₁)→(Ｙ₂)^(Ｘ₂)
と置き、全単射であればいい。

(Ｙ₁)^(Ｘ₁)∍h、(Ｙ₂)^(Ｘ₂)∍iとして、ｈとiを用いて、どのようにして全単射を示せばよいか教えてください。お願いします。

　　※ｈ＝ｇ⁻¹◦i◦ｆ、ｉ=(g)◦ｈ◦ｆ⁻¹

回答No.1

eclipse2maven

〖(Ｙ〗^Ｘ の　定義はなんですか？

それをまず、考えたらもっと進めるとおもいますが。

補足

♯(Ｙ^Ｘ)の打ち間違えです。すいません。