集合と濃度の問題のやり方を教えてください。

質問

問題
　集合Ｘの濃度を♯Ｘであらわす。特に、空集合φに対しては、♯φ＝0であり、一元集合{φ}に対しては、♯{φ}＝１である。集合Ｘから集合Ｙへの写像全体の集合をＹ^Ｘと表す。
更に、濃度のべき乗〖(♯Ｙ)〗^(♯Ｘ)を♯(Ｙ^Ｘ)と定義する。以下の問いに答えよ。

(1)♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２かつ♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２ならば、〖(♯Ｙ₁)〗^(♯Ｘ₁)＝〖(♯Ｙ₂)〗^(♯Ｘ₂)を証明せよ。

(2)０^(♯Ｘ)を求めよ。

(3)特に、０⁰を求めよ。

(1)を、以下のように途中までやりました。
　♯Ｘ_１＝♯Ｘ_２より、ｆという全単射(ｆ；X₁→X₂)が存在。
　　♯Ｙ_１＝♯Ｙ_２より、ｇという全単射(ｇ；Y₁→Y₂)が存在。(仮定より)
　ゆえに
Φ：(Ｙ₁)^(Ｘ₁)→(Ｙ₂)^(Ｘ₂)
と置き、全単射であればいい。

そこで、(Ｙ₁)^(Ｘ₁)∍h、(Ｙ₂)^(Ｘ₂)∍iとして、ｈとiを用いて、どのようにして全単射を示せばよいか教えてください。お願いします。

　　※ｈ＝ｇ⁻¹◦i◦ｆ、ｉ=(g)◦ｈ◦ｆ⁻¹
(2)、(3)についての解き方も併せてお願いいたします。よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

前の続きだったら改めて質問を立てずともよいのでは? ああ, 前の質問はちゃんと閉じてね.

「Φ：(Ｙ₁)^(Ｘ₁)→(Ｙ₂)^(Ｘ₂) と置き、全単射であればいい」というのは表現として乱暴です. より正確に,
Y1^X1 から Y2^X2 への全単射 Φ が存在すればいい
などと書くようにしましょう.

ということで, h∈Y1^X1 から Φ(h)∈Y2^X2 への全単射を実際に作ればいい... んだけど, それは事実上
ｉ=(g)◦ｈ◦ｆ⁻¹
で終わっています. これで実際に「Y1^X1 から Y2^X2 への全単射」になることを示してください. なお, 「全単射 = 全射かつ単射」だから, 「全単射であることを示す」には当然「全射でありかつ単射であること」を示すということになります. もちろんそれぞれは定義に突っ込んで示してください.

(2) と (3) は「0」の処理だけの問題なんだけど, (3) の立場がよくわからん. (3) を出さないと (2) に対する「完全な解答」にはならないんだよね.

補足

(２)について、０^(♯Ｘ)は、問題文の定義より、♯(Φ^Ｘ)と書き表せます。
ただ、∮；Ｘ→Φという写像の全射かつ単射を示すにはどうすればよいでしょうか？
(３)については、０しか含まない集合Ｚから０しか含まない集合Ｗという写像ｋを考えて、全単射がわかるで大丈夫でしょうか？

回答No.3

Tacosan

え?

なんで全射とか単射が出てくるの?

回答No.2

eclipse2maven

写像　Φ　を　ちゃんと　定義してください。

あと　ちゃんと　勉強していれば　ベルンシュタインの定理　を　やっているはずです。それを使えば　全射　か　単射　どちらか一方言えば、済みますが。

少しずつ、やるべきことを整理し、少なくし、　考えていけば　解けます。