写像に関する問題だと思います。

質問

写像に関する問題だと思います。
f:R^2→R^2,f(x,y)=(x+y,xy)とするときf(D)を求めよ。
D={(x,y)|x^2+y^2＜1,x＞0,y＜0}
という問題です。
x^2+y^2＜1から-√(1-x^2)＜y＜√(1-x^2)であるので、
-√(1-x^2)＜y＜0
x-√(1-x^2)＜x+y＜x
-x√(1-x^2)＜xy＜0
うまく進めることができません。アドバイスの程お願い致します。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＞s=x+yの直線が領域Dの中を通るときのx,yの最大値、最小値を次のように求めました。
＞-1＜x＜1、-1＜y＜1

そうではなくて、sを固定したときのx,yの最大値、最小値を求めます。
（そもそもx＞0,y＜0なのだから、-1＜x＜1、-1＜y＜1は間違ってます）

円x^2+y^2=1　と　直線x+y=s　とのx＞0での交点は、
({s+√(2-s^2)}/2, {s-√(2-s^2)}/2)

よって、x,yの範囲は、
s≧0のとき、
　s＜x＜{s+√(2-s^2)}/2、{s-√(2-s^2)}/2＜y＜0
s＜0のとき、
　0＜x＜{s+√(2-s^2)}/2、{s-√(2-s^2)}/2＜y＜s

以上から、t=xyの範囲は、
{s+√(2-s^2)}/2*{s-√(2-s^2)}/2＜t＜0
となります。

あとは、上記の式を整理すれば、
f(D)={(x,y)|-1＜x＜1,(x^2-1)/2＜y＜0}
となります。

式だけから問題を解こうとするとかなり難しいです。
図を描いて直線x+y=sのsを変動させたときに領域Dとの交点がどのように変化するのかを調べることが大事です。

お礼

nag0720様。丁寧でわかりやすいアドバイス本当にありがとうございました。お蔭様で何とか理解することができました。ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

f(x,y)=(s,t)とすると、
s=x+y、t=xy

x^2+y^2＜1　と　s=x+y　の図を描いてみれば分かると思いますが、
sの範囲は、-1＜s＜1

あとは、s=x+yの直線が領域Dの中を通るときのx,yの最大値、最小値を求めてから、t=xyの範囲がどうなるかを調べてみましょう。

ちなみに答えは、
f(D)={(x,y)|-1＜x＜1,(x^2-1)/2＜y＜0}

補足

nag0720様ありがとうございます。
s=x+yの直線が領域Dの中を通るときのx,yの最大値、最小値を次のように求めました。
-1＜x＜1、-1＜y＜1
次にxy=x√(1-x^2)としたのですが、うまく進めません。もしよろしければ、さらなるアドバイスをいただければと思います。ちなみに、f:R^2→R^2とはどのような意味なのでしょうか？