写像について

質問

写像について

(1)(-1,1)を(-∞,∞)に全単射する写像の例を一つ挙げよ。あげた写像が全単射といえる理由も述べよ。

(2)f:R^2→R^2,f(x,y)=(x+y,xy)とするときf(D)を求め図示せよ。
D={(x,y)|x^2+y^2<1,x>0,y≦0}

の二問の解答への方向性が見えません。

全射、単射についての定義はわっかていますが・・・。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

hopper0024 · ベストアンサー

(1)はグラフを考えましょう。-1<x<1でyが実数全体にわたる関数のグラフを想像（創造）する。tanというヒントもありましたね。
(2)u=x+y,v=xy とおくとき、x,yを解とする二次方程式が実数解を持つ条件を考えれば、基本的に(u,v)の存在する範囲が限定されます。
次に、Dの領域が示す不等式をu,vの不等式に直します。これで大体できるはず。ここまでは高校数学では頻出内容だと思います。
最後がちょっと困らせる点でしょうか。x>0,y<=0という条件をどうu,vと折り合いを付けるか。Dの4分の1の領域ですが、像がどうなるか。対称式というヒントもありました。気をつけて最終的な解にたどり着いてください。

回答No.2

rabbit_cat

(1) こういうタイプの写像がほしいときは、tan(x) を適当に変形して使うことが多いかな。お約束というか。

(2)は、単純にＤがｆによってどう移るかを考えてもいいですし、
逆に、逆関数ｆ＾-1 がＤに含まれるような点の集合を考えてもよいです。
＃実は、高校で散々こういう問題をやってるはずです。「～の軌跡を求めよ」というやつです。

回答No.1

koko_u_u

(1) は例を挙げるだけでよいので、全単射であることを証明しやすいものを考えるだけです。
微分可能性とかまったく不要なので、自由にどうぞ。

(2) はまず xy 平面に D を描いて、その中の点が f でどのように移るのかを色々考えるべきです。
いきなり「基本対称式が云々」とかやっても理解できるはずもありません。