ユークリッド平面と連続開写像

質問

「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)＝x1
このとき、fはR2からR1への連続開写像であることを証明せよ。」

以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか？
また、もっと違う方法、簡単な方法はありますでしょうか？
宜しくお願いします。

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X(x1,x2)とY(y1,y2)の距離d(ユークリッド空間R2の距離)は
d(X,Y)=√{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2}
f(X)とf(Y)の距離d(ユークリッド空間R1の距離)は
d(f(X),f(Y))=√(x1-y1)^2
そうだとすると
√(x1-y1)^2 <= √{(x1-y1)^2+(x2-y2)^2}
だから
∀ε>0,∃δ>0, d(X,Y) < δ=ε ⇒ d(f(X),f(Y)) <= d(X,Y) < ε
fは連続である。

fによってR2の開集合はR1の開集合に写像されることは、連続性と同じ理由で明らか。
∵Xの任意のε(X)近傍はf(X)のε(X)近傍の上に写像されるから、R2の開集合はR1の開集合に写像されることを意味していて、fは開写像である。

∴fはR2からR1への連続開写像である。
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回答No.2

t-h1970 · ベストアンサー

写像を動かす際には部分集合を使うと良いです

ざっくりいきます

まず部分集合について

R^n の部分集合 S が R^n の開集合であるためには，任意の点p∈ S に対して，S'⊆Sを満たすε近傍が存在することが必要十分……1とします

これを使ってR^2の開集合S''を考えます

f(S'') の任意の点 x をとると，f(S'')=x をみたす点p∈ S''が存在する

ここに1を使って p⊆S''ε近傍の存在を宣言し、R^1上でも同様にし、また1を使いこれで開集合の証明は終了です

次に連続である場合には
任意の部分集合に対しf(Mバー）⊂〈f(M)〉バー　が必要十分ですから
これも示します

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

noname#221368

合っているように見えますが、私はいつも次の定義で済ませてしまうので、慣れた方の意見も欲しいところです。距離空間のからむ証明は、けっこう細かくて、落とし穴があるかも知れないので。

［積位相の定義］
　射影を連続にする最も粗い位相が積位相．従って射影が連続なのは明らかで、開写像なのは、最も粗い事から言える．

お礼

その手もあるのですね！
その線でも証明してみます！