∫x(r^2-x^2)^(1/2)dx（範囲は0→ｒ）

質問

∫x(r^2-x^2)^(1/2)dx（範囲は0→ｒ）

のやり方を教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x=r*sin(t)(0<=t<=π/2)と置換して見てください。
dx=r*cos(t)dt,(r^2-x^2)^(1/2)=r*cos(t)
I=∫[0→π/2] (r^3)*sin(t)(cos(t))^2dt
=(r^3)(1/2)∫[0→π/2] sin(2t)cos(t)dt
=(r^3)(1/4)∫[0→π/2] {sin(3t)+sin(t)}dt
=(1/4)(r^3)[-(1/3)cos(3t)-cos(t)][0→π/2]
=(1/4)(r^3)(4/3)=(r^3)/3

お礼

回答ありがとうございます　
役に立ちました

回答No.1

aquatarku5

x=rsin(t)とおくと、
dx=rcos(t)dt

与式=∫{0→π/2}rsin(t)rcos(t)rcos(t)dt
=r^3∫{0→π/2}cos^2(t)sin(t)dt
=r^3[-cos^3(t)/3]_0^(π/2)
=r^3/3

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました。